Objectif # -------- # Resoudre AX=B avec matrices augmentees (Gauss-Jordan), savoir calculer # un determinant (2x2, 3x3) et l'inverse (2x2 par formule, 3x3 via [A|I]). # # Ce qu'on te demande typiquement # ------------------------------- # - Ecrire un systeme sous forme AX=B; construire [A | B]. # - Resoudre par operations de lignes (pivot=1, zeros ailleurs). # - Calculer det(A) en 2x2, 3x3; connaitre effets des operations de ligne. # - Savoir quand A^{-1} existe (det(A) != 0) et la calculer. # # Formules importantes # -------------------- # Det 2x2 : pour A = [ [a, b], [c, d] ], det(A) = ad - bc. # Det 3x3 (Sarrus) pour A = [a b c; d e f; g h i] : # det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh. # Effets des operations de ligne sur det : # - Echanger deux lignes : det multiplie par (-1) # - Multiplier une ligne par k : det multiplie par k # - Li <- Li + k*Lj (j != i) : det INCHANGE # Inverse 2x2 (si det != 0) : # A^{-1} = (1/det) * [ d -b # -c a ] # # Methode pas-a-pas — Gauss-Jordan (2x2/3x3) # ------------------------------------------ # 1) Former [A | B]. # 2) Colonne par colonne : # a) Si pivot = 0, echanger avec une ligne ayant pivot != 0. # b) Normaliser : rendre le pivot = 1 (diviser toute la ligne). # c) Annuler les autres entrees de la colonne en ajoutant k*Lpivot. # 3) Quand A -> I, le bloc droit = X (solution). Sinon conclure : # - Ligne [0 ... 0 | c!=0] -> pas de solution. # - Colonne sans pivot -> infinite de solutions (parametre). # # Petit exemple (systeme 2x2) # -------------------------- # System : x + 2y = 5 # 3x - y = 4 # A = [ [1, 2], [3, -1] ], B = [ [5], [4] ] # det(A) = 1*(-1) - 2*3 = -1 - 6 = -7 != 0 -> solution unique. # Inverse 2x2 : A^{-1} = (1/(-7)) * [ -1 -2 # -3 1 ] # X = A^{-1} B = (1/(-7)) * [ -1*5 + -2*4 # -3*5 + 1*4 ] = (1/(-7)) * [ -13, -11 ]^T # Donc x = (-13)/(-7) = 13/7, y = (-11)/(-7) = 11/7. # (On pouvait aussi faire Gauss-Jordan sur [A|B] pour verifier.)