Objectif # - Determiner la production brute x necessaire pour satisfaire une # demande finale d, connaissant les coefficients techniques A. # # Ce qu'on te demande typiquement # - Construire la matrice A des coefficients techniques a_ij. # - Verifier la "productivite" (souvent colonnes < 1) et que (I - A) est inversible. # - Resoudre x = (I - A)^(-1) * d (production totale requise). # # Definitions / Formules # - a_ij = quantite de l'input du secteur i necessaire pour produire 1 unite # d'output dans le secteur j (convention colonnes -> sorties). # - Demande finale: d (vecteur colonne). # - Leontief (ouvert) : x = A*x + d => (I - A) x = d => x = (I - A)^(-1) d # - Condition d'existence classique: rayon spectral(A) < 1 (souvent verifie si # chaque colonne de A a une somme < 1). En pratique: det(I-A) != 0. # # Methode pas-a-pas # 1) A partir de l'enonce, remplir A avec les a_ij (inputs par unite d'output j). # 2) Former I - A (I identite). # 3) Verifier que det(I - A) != 0 (ou colonnes < 1 comme verif rapide). # 4) Calculer (I - A)^(-1) (2x2: formule; 3x3: Gauss-Jordan). # 5) Calculer x = (I - A)^(-1) * d. # 6) Interpretion: composantes de x = production brute requise par secteur. # # Petit exemple (2 secteurs) # A = [[0.2, 0.1], # [0.3, 0.2]] # d = [[100], # [ 80]] # I - A = [[1-0.2, -0.1 ], # [ -0.3 , 1-0.2]] = [[0.8, -0.1], [-0.3, 0.8]] # det = 0.8*0.8 - (-0.1)*(-0.3) = 0.64 - 0.03 = 0.61 -> inversible # (I - A)^(-1) = (1/0.61) * [[ 0.8, 0.1], # [ 0.3, 0.8]] # x = (I - A)^(-1) * d = (1/0.61) * [[0.8*100 + 0.1*80], # [0.3*100 + 0.8*80]] # = (1/0.61) * [[88], [94]] ~ [[144.26], [154.10]] # Interpretation: produire env. 144.26 (secteur 1) et 154.10 (secteur 2). # # Bonus (prix, si vu en cours) # - Modele des prix: p^T = v^T (I - A)^(-1), avec v^T = couts primaires (valeur ajoutee). # On peut aussi ecrire p = (I - A)^(-T) v si on travaille en vecteurs colonnes.