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Created on October 14, 2025
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FICHE DE RÉVISION — CHAPITRE 3 : FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES ET INTÉRÊTS COMPOSÉS
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Objectif du chapitre
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- Comprendre la croissance et la décroissance exponentielle.
- Savoir utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques dans des contextes économiques et financiers.
- Calculer les montants futurs, présents et les taux dans les modèles d’intérêts composés.

1) FONCTION EXPONENTIELLE
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Définition : f(x) = e^x
- f’(x) = e^x  (elle est égale à sa dérivée)
- e^0 = 1
- Croissance continue (f(x) > 0 pour tout x)
- Représente souvent une croissance "proportionnelle" : plus la quantité est grande, plus elle croît vite.

Forme générale :
f(x) = a·e^(kx)
- Si k > 0 → croissance exponentielle
- Si k < 0 → décroissance exponentielle
- a = valeur initiale, k = taux de croissance

Exemple :
f(t) = 500·e^(0.04t)
→ valeur initiale = 500, taux de croissance de 4 % par unité de temps.

2) FONCTION LOGARITHMIQUE
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Définition : ln(x) est la réciproque de e^x
- ln(e^x) = x et e^(ln(x)) = x
- Domaine : x > 0
- Dérivée : (ln x)’ = 1/x
- ln(1) = 0

Utilisations :
- Résoudre des équations exponentielles : e^(2x) = 10 ⇒ 2x = ln(10) ⇒ x = ln(10)/2
- Trouver le temps t dans un modèle de croissance exponentielle.

3) INTÉRÊTS COMPOSÉS — FORMULES CLÉS
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Capitalisation discrète (intérêts ajoutés périodiquement) :
A = P (1 + i/n)^(n·t)
A = montant final
P = capital initial
i = taux d’intérêt annuel (en décimal)
n = nombre de périodes de capitalisation par an
t = durée (en années)

Capitalisation continue :
A = P·e^(r·t)
r = taux d’intérêt (continu)
t = durée

Valeur actuelle :
P = A / (1 + i/n)^(n·t)     ou     P = A·e^(−r·t)

4) MÉTHODES PAS À PAS
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A. Calculer un montant futur (capitalisation discrète)
1) Identifier P, i, n, t
2) Appliquer : A = P (1 + i/n)^(n·t)

B. Trouver un taux d’intérêt
1) À partir de A, P, t, résoudre : (A/P) = (1 + i/n)^(n·t)
2) Isoler i : i = n[(A/P)^(1/(n·t)) − 1]

C. Trouver la durée
1) À partir de A, P, i, résoudre : (A/P) = (1 + i/n)^(n·t)
2) Appliquer le logarithme :
   n·t·ln(1 + i/n) = ln(A/P)
   t = ln(A/P) / [n·ln(1 + i/n)]

D. Passage capitalisation discrète ↔ continue
- Équivalence : (1 + i/n)^(n) = e^(r)
- r = n·ln(1 + i/n)

5) EXEMPLES TYPES
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Exemple 1 : capitalisation discrète
P = 5 000 €, i = 6 % = 0,06, n = 4, t = 5 ans
A = 5 000 (1 + 0.06/4)^(4·5) = 5 000 (1.015)^20 ≈ 6 743,49 €

Exemple 2 : capitalisation continue
P = 2 000 €, r = 5 % = 0,05, t = 3 ans
A = 2 000·e^(0.05·3) = 2 000·e^0.15 ≈ 2 000·1.1618 = 2 323,6 €

Exemple 3 : trouver le taux
P = 1 000 €, A = 1 215,5 €, t = 2 ans, n = 1
(1 + i)^2 = 1.2155 ⇒ 1 + i = √1.2155 ⇒ i ≈ 0.1025 ⇒ taux ≈ 10,25 %

Exemple 4 : valeur actuelle
A = 5 000 €, i = 4 %, n = 2, t = 3 ans
P = 5 000 / (1 + 0.04/2)^(2·3) = 5 000 / (1.02)^6 ≈ 4 404,9 €

6) EXERCICES FLASH
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Q1. P = 10 000 €, i = 8 %, n = 1, t = 3 ans. Trouver A.
→ A = 10 000 (1.08)^3 = 12 597 €

Q2. A = 15 000 €, P = 10 000 €, t = 5 ans. Taux annuel ?
→ (A/P)^(1/t) − 1 = (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 0.0845 ⇒ 8,45 %

Q3. Capitalisation continue : P = 3 000 €, r = 0,03, t = 10 ans.
→ A = 3 000·e^(0.03·10) = 3 000·e^0.3 ≈ 3 000·1.3499 = 4 049,7 €

Q4. Trouver t : A = 12 000 €, P = 10 000 €, i = 5 %.
→ (A/P) = (1.05)^t ⇒ ln(1.2) = t·ln(1.05) ⇒ t = ln(1.2)/ln(1.05) ≈ 3.66 ans

7) À RETENIR ABSOLUMENT
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- Intérêt simple : croissance linéaire → A = P(1 + i·t)
- Intérêt composé : croissance exponentielle → A = P(1 + i/n)^(n·t)
- Capitalisation continue : A = P·e^(r·t)
- Valeur actuelle : P = A·e^(−r·t)
- Logarithme sert à isoler t ou i
- r = n·ln(1 + i/n) relie taux nominal et taux continu

Astuce : 
En cas de doute, toujours écrire la relation de base A = P·(facteur de capitalisation)
et isoler la variable demandée (A, P, i ou t) avec ln ou e.

Fin de la fiche — bon courage ! Relis les formules-clés et exemples types juste avant ton évaluation.