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Created on January 23, 2025
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### Fiche de révision : **Dérivation, Continuité et Théorèmes associés**  

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#### **I. Dérivation**
1. **Définition de la dérivée :**  
   \[
   f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
   \]  

2. **Règles de dérivation :**  
   - \( (u+v)' = u' + v' \)  
   - \( (ku)' = k \cdot u' \)  
   - \( (uv)' = u'v + uv' \)  
   - \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)  
   - \( (u \circ v)' = (u' \circ v) \cdot v' \)  

3. **Dérivées usuelles :**  
   - \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)  
   - \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)  
   - \( (\exp x)' = \exp x \)  
   - \( (\sin x)' = \cos x \), \( (\cos x)' = -\sin x \).  

4. **Tangente en \( a \) :**  
   \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).

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#### **II. Continuité**
1. **Définition de la continuité :**  
   \( f \) est continue en \( a \) si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).  

2. **Lien dérivabilité et continuité :**  
   \( f \) dérivable en \( a \) \( \Rightarrow \) \( f \) continue en \( a \).  

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#### **III. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)**
1. **Énoncé :**  
   Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle fermé \([a, b]\), et \( k \) un réel compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \).  
   Alors, il existe au moins un \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = k \).  

2. **Interprétation graphique :**  
   Si le graphe de \( f \) est continu, il passe nécessairement par toutes les valeurs entre \( f(a) \) et \( f(b) \).  

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#### **IV. Théorème du Point Fixe**
1. **Énoncé :**  
   Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle fermé \([a, b]\), telle que \( f([a, b]) \subset [a, b] \) (autrement dit, \( \forall x \in [a, b], f(x) \in [a, b] \)).  
   Alors, il existe au moins un \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = c \).  

2. **Interprétation :**  
   Il existe un point \( c \) où le graphe de \( f \) coupe la droite \( y = x \).  

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#### **V. Applications pratiques**
1. **TVI pour prouver une solution d'équation :**  
   Pour \( f(x) = 0 \), vérifier que \( f(a) \cdot f(b) < 0 \) pour conclure qu'une racine existe dans \([a, b]\).  

2. **Point fixe pour résoudre des équations :**  
   Si \( f \) satisfait les hypothèses, chercher \( c \) tel que \( f(c) = c \).

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Garde bien ces théorèmes en tête pour tes démonstrations et justifications. Ils reviennent souvent dans les exercices de continuité ! 🚀