I. Rappel 1) Savoir la norme d’un vecteur La formule est la suivante ||u|| = √(x**2 + y**2 + z**2) 2) Trouver le produits scalaire Il y a 3/4 formule : a. u ° v = 1⁄2(||u + v||**2 - ||u||**2 - ||v||**2) b. si u(x, y, z) et v(x’, y’, z’) alors u ° v = x * x’ + y * y’ + z * z’ c. u ° v = ||u|| * ||v|| * cos(uv) 3) Tableau des angles Voir tableau_radiant.py 4) Expressions du produits scalaire u et v sont orthogonaux, si et seulement si, u ° v = 0 II. Orthogonalité dans l’espace 1) Liste des définitions à connaître : - Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leurs sont parallèles et qui sont perpendiculaires à elles. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. - Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si, soit l'un des deux au moins est nul, soit ils sont des vecteurs directeurs de deux droites orthogonales. - Une droite A est orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan P, si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P. - Si une droite est orthogonale à un plan P, alors elle est orthogonale à toutes les droites de P. - Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles. - Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre. - Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. - On appelle H le point d'intersection de P avec la perpendiculaire à P passant par A. H s'appelle le projeté orthogonal du point A sur le plan P. - On appelle H le point d'intersection de AB avec le plan passant par C et perpendiculaire à AB. H s'appelle le projeté orthogonal du point C sur la droite AB. 2) Vecteur normal à un plan - Un vecteur non nul n de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. - Un vecteur non nul n de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. - Corollaire : Une droite est orthogonale à toutes droites d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 3) Equation cartésienne d'un plan - L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; i, j, k). - Un plan P de vecteur normal n(a, b ,c) non nul admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d= 0, avec d ∈ R. - Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points M(x, y, z) tels que ax + by + cz+d=0, avec d ∈ R, est un plan.