Proba

Avec ordre 
k A n = n ! / (n-k) !

Pas d ordre 
k C n = k A n / k !

P(A)= card (A) / card (omega)

Exemple = proba un carre as dans un jeu de 52 cartes
P(A) = (4C4 x 1C48) / 5C52

Exo une ese 18 hom et 17 fem Composer CA  1 presid 1 DG 1 vice presid 

1 proba une femme presid
P(A)= (1A17 x 1C48) / 3A35

2 proba exactement 2 hommes CA 
P(A)= (2A18 x 1A17) / 3A35

3 proba plus de 2 hommes
P(A)= 1 - 3A17 / 3A35

4 proba au moins 1 homme
P(A)= 1 - 3A17 / 3A35

Exo proba avoir un 4 avec 5 lancers un de 6 faces
3C5 x(1/6) puiss 3 x (5/6) puiss 2 

kCn (p puis k) x q puiss n-k

VAN= V1 (1+i) puiss -n1 + V2 (1+i) puiss -n2 Vp(1+i)puiss -np 

Moy x = somme xi pi / somme ni


Exo on considere 3 inv possible a diff echeances 

1er cap de 1000 echeance 3 ans 
2eme 5000 5 ans
3eme 10000 8 ans 
Taux annuel marche 5%
Gain annuel potentiel 10%

Quel gain potentiel global si pour 2 invests un clt achete du 2eme et du 3eme

E= 5000 (1+5%) puiss -5 x 0,1 x P1 + 10 000 (1+5%) puiss -8 x 0,1 x P2


Loi binomiale 
(p+q) puiss n = somme kCn x p puis k x q puiss n-k

Exo une soc de puces electro produit dans 2 usines A et B
60% prod pour la 1ere et 40 pour 2eme
10% pc defect pour 1ere et 15% defect 2eme

1 proba une piece defectueuse 
P(D) = P(D/A) + P(D/B)
= (0,6x0,1) + (0,4x0,15)= 0,12

2 Si une pc defect proba usine A
P(D inter A) = P(D/A) / P(D) = P(D/A) / (P(D/A) + P(D/B)) = (0,6x0,1)/0,12 = 0,5


Exo risque de credit 
Bq accorde micro credit a des particuliers 95% rembours leur credit
Evaluation du risque sur portefeuille 20 clients

1 proba tout le monde remb
P(A) = 20C20 x (0,95) puiss 20 x (1-0,95) puiss 20-0 = 0,36

2 proba au moins 2 remb 
P(x>2) = 1 - (P(x=0) + P(x=1))
= 1 - 0C20 (0,95) puiss 0 x (1-0,95) puiss 20-0 - 1C20 (0,95) puiss 1 x (1-0,95) puiss 20-1 
=0,63

3 comb remb en moyenne 
Moy = 20 x 0,95 = 19

Loi de poisson 

P= e puiss-esp x esp puiss k / k !

Exemple compagnie assurance 3 sinistres en moy / jour 

1 proba avoir 5 sinistres demain 
P(k=5) = e puiss -3 x (3 puiss 5 / 5 !) = 0,1008 = 10,08%

2 assure que si proba avoir 2 sinistre < 20% 
P(k>2) = 1 - P(k=0) - P(k=1)
= 1 - e puiss -3 x (3puiss 0 / 0!) - e puiss -3 x (3puiss 1 / 1!) = 0,80 


Choc de marche indice boursier 
2 chocs / mois en moy et mouv achat vente sup a 3%

1 proba avoir 3 choc en 1 mois 
Esp = 2 / k=3 calculer P(k=3)

2 proba 0 choc en 1 mois 
Calculer P(k=0)

3 proba au moins 3 en 1 mois 
P(k>=3) = 1 - (P(k=2) + P(k=1) + P(k=0))


Exemple societe inv sur usine proba piece defect par minute = 0,1 Cout piece defect = 4euro

Cout prod 4 pieces defect 
P(k=4) avec esp =0,1 k=4

E(P(k=4)) = 4 x 4 x P(k=4) = 0,00006

Loi normale = loi de poisson lorsque que k et esp son continus 

Parametre loi normale = (x-moy x)/ecart type

P (moy-e type , moy+e type) =0,68

P (moy-2e type , moy+2e type) =0,95 logo

P (moy-3e type , moy+3e type) =0,985


Exo classe moy de 12 et ecart type 2 
Proba note un eleve entre 10 et 14

P(10 <= x <= 14) = P(x<=14) - P(x<=10)

=P(x-moy<= 14-moy) - P(x-moy<= 10-moy) 

= P((x-moy)/ecart typ)<= (14-moy)/ecart typ)) - P((x-moy)/ecart typ)<= (10-moy)/ecart typ))

=P(U<= (14-12)/2) - P(U<= (10-12)/2)

= P(U<=1) - P(U<= -1)
=P(U<=1) - (1-P(U<=1)
=2P(U<=1) - 1 = 0,68