Proba Avec ordre k A n: n ! / (n-k) ! Pas d ordre k C n: k A n / k ! P(A): card (A) sur card (omega) Exemple: proba un carre d'as dans un jeu de 52 cartes P(A): (4C4 x 1C48) sur 5C52 Exo une ese 18 hom et 17 fem Composer CA 1 presid 1 DG 1 vice presid 1 proba une femme presid P(A): (1A17 x 1C48) sur 3A35 2 proba exactement 2 hommes CA P(A): (2A18 x 1A17) sur 3A35 3 proba plus de 2 hommes P(A): 1- 3A17 / 3A35 4 proba au moins 1 homme P(A): 1 - 3A17 / 3A35 Exo proba avoir un 4 avec 5 lancers un de 6 faces 3C5 x (1/6) puiss 3 x (5/6) puiss 2 kCn (p puis k) x q puiss n-k VAN= V1 (1+i) puiss -n1 + V2 (1+i) puiss -n2 Moy x = somme xi pi / somme ni Exo on considere 3 inv possible a diff echeances 1er cap de 1000 echeance 3 ans 2eme 5000 5 ans 3eme 10000 8 ans Taux annuel marche 5% Gain annuel potentiel 10% Quel gain potentiel global si pour 2 invests un clt achete du 2eme et du 3eme E= 5000 (1+5%) puiss -5 x 0,1 x P1 + 10 000 (1+5%) puiss -8 x 0,1 x P2 Loi binomiale (p+q) puiss n = somme kCn x p puis k x q puiss n-k Exo une soc de puces electro produit dans 2 usines A et B 60% prod pour la 1ere et 40 pour 2eme 10% pc defect pour 1ere et 15% defect 2eme 1 proba une piece defectueuse P(D) = P(D/A) + P(D/B) = (0,6x0,1) + (0,4x0,15)= 0,12 2 Si une pc defect proba usine A P(D inter A) = P(D/A) / P(D) = P(D/A) / (P(D/A) + P(D/B)) = (0,6x0,1)/0,12 = 0,5 Exo risque de credit Bq accorde micro credit a des particuliers 95% rembours leur credit Evaluation du risque sur portefeuille 20 clients 1 proba tout le monde remb P(A) = 20C20 x (0,95) puiss 20 x (1-0,95) puiss 20-0 = 0,36 2 proba au moins 2 remb P(x>2) = 1 - (P(x=0) + P(x=1)) = 1 - 0C20 (0,95) puiss 0 x (1-0,95) puiss 20-0 - 1C20 (0,95) puiss 1 x (1-0,95) puiss 20-1 =0,63 3 comb remb en moyenne Moy = 20 x 0,95 = 19 Loi de poisson P= e puiss -esp x esp puiss k / k ! Exemple compagnie assurance 3 sinistres en moy / jour 1 proba avoir 5 sinistres demain P(k=5) = e puiss -3 x (3 puiss 5 / 5 !) = 0,1008 = 10,08% 2 assure que si proba avoir 2 sinistre < 20% P(k>2) = 1 - P(k=0) - P(k=1) = 1 - e puiss -3 x (3puiss 0 / 0!) - e puiss -3 x (3puiss 1 / 1!) = 0,80 Choc de marche indice boursier 2 chocs / mois et mouv achat vente sup a 3% 1 proba avoir 3 choc en 1 mois Esp = 2 / k=3 calculer P(k=3) 2 proba 0 choc en 1 mois Calculer P(k=0) 3 proba au moins 3 en 1 mois P(k>=3) = 1 - (P(k=2) + P(k=1) + P(k=0)) Exemple societe inv sur usine proba piece defect par minute = 0,1 Cout piece defect = 4euro Cout prod 4 pieces defect P(k=4) avec esp =0,1 k=4 E(P(k=4)) = 4 x 4 x P(k=4) = 0,00006 Loi normale = loi de poisson lorsque que k et esp son continus Parametre loi normale = (x-moy x)/ecart type P (moy-e type , moy+e type) =0,68 P (moy-2e type , moy+2e type) =0,95 P (moy-3e type , moy+3e type) =0,985 Exo classe moy de 12 et ecart type 2 Proba note un eleve entre 10 et 14 P(10 <= x <= 14) = P(x<=14) - P(x<=10) =P(x-moy<= 14-moy) - P(x-moy<= 10-moy) = P((x-moy)/ecart typ)<= (14-moy)/ecart typ)) - P((x-moy)/ecart typ) <= (10-moy)/ecart typ)) =P(U<= (14-12)/2) - P(U<= (10-12)/2) = P(U<=1) - P(U<= -1) =P(U<=1) - (1-P(U<=1) =2P(U<=1) - 1 = 0,68