loisprobas.py

Created on December 11, 2023
2.2 KB
1. Loi uniforme sur {1,...,N}:
Situation type : Une urne contient N boules numérotées de 1 à N . 
On en tire une au hasard et on note X le numéro tiré.
P(X = k) = 1/N
E[X] = (N + 1) / 2
Var(X) = ((N**2) - 1) / 12

2.Loi de Bernouilli B(P):
Situation type : On lance une fois une pièce de monnaie et on note X = 1 
si on obtient Pile et X = 0 si on obtient Face.
P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p 
E[X] = p
Var(X) = p * (1 - p)

3. Loi binomiale B(n,p):
Situation type : -On lance n fois une pièce de monnaie qui amène Pile 
avec probabilité p ∈ (0, 1). On note X le nombre de Pile obtenu.
-Une urne contient des boules vertes en proportion p.  On effectue n tirages 
successifs avec remise. On note X le nombre de boules vertes obtenues.
P(X = k) = (Combinaison de k dans n) * (p**k) * ((1 - p)**n - k)
E[X] = n * p
Var(X) = n * p * (1-p)

4.Loi géométrique G(p):
SItuation typer : -On lance une pièce de monnaie qui amène Pile avec probabilité p. 
On lance la piéce jusqu’à obtenir un Pile et on note X le nombre de lancers effectués.
-On effectue une expérience à 2 issues : succés ou échec, le succès arrivant avec probabilité
p. On répète l’expérience à l’identique de manière indépendante jusqu’à obtenir un succès 
et on compte le nombre de tentatives X.
P(X = k) = p * ((1 - p)**k - 1)
E[X] = 1 / p
Var(X) = (1 - p) / (p**2)

5.Loi de poisson P(λ):
Loi de poisson de paramètre λ: Soit λ > 0 . On a X(Ω) = N et la loi de X 
est donnée pour k appartient à N par :
  P(X = k) = exp(-λ) * ((λ**k) / k!)
E[X] = λ
Var(X) = λ

6.Loi hypergéométrique H(N,n,p)
Situation type : Une urne contient a boules blanches et b boules noires donc une proportion
p = a / (a + b) de boules blanches et 1 − p = b / (a + b) de boules noires. On tire n boules sans remise.
On note N = a + b le nombre total de boules et X le nombre de boules blanches obtenues parmi les n tirées.
P(X = k) = 
E[X] = n * p
Var(X) = n * p * (1 - p) * ((N - n) / (N - 1))

7.Loi binomiale négartive BN(n,p):
Situation type : On lance une pièce amenant Pile avec probabilité p jusqu’à l’obtention de n Pile. 
On note X le nombre de Face obtenu lors de cette expérience.
P(X = k)
E[X] = (n * (1 - p) / p)
Var(X) = (n * (1 - p) / (p**2))