# Cas d’un caractère discret

# Soient :
# - x_i : les valeurs du caractère (modalités)
# - n_i : les effectifs associés à chaque x_i
# - f_i : les fréquences (f_i = n_i / N)
# - N   : l’effectif total (somme des n_i)

# La moyenne arithmétique pondérée est donnée par :

# Moyenne (x̄) =
#   (1 / N) * somme(n_i * x_i)
# ou équivalent :
#   somme(f_i * x_i)

# Interprétation :
# La moyenne est un **paramètre de position**
# ou de **tendance centrale** de la distribution.

# Elle donne une valeur "centrale" autour
# de laquelle les données sont réparties.


# Moyenne d’un caractère discret codé

# Soient :
# - c_i : les modalités (valeurs codées)
# - n_i : les effectifs de chaque modalité
# - f_i : les fréquences associées (f_i = n_i / N)
# - N   : l’effectif total = somme(n_i)

# La moyenne est :

# Moyenne (x̄) =
#   (1 / N) * somme(n_i * c_i)
# ou :
#   somme(f_i * c_i)

# Cette moyenne est utilisée lorsque le caractère
# est codé par des valeurs numériques (ex : notes, classes sociales, etc.)

# La moyenne donne une estimation de la tendance centrale
# des modalités pondérées par leur importance (fréquence).



# Variance et écart-type

# Définition de la variance :
# Var(x) = E[(x - x̄)^2]
# → Elle mesure la dispersion des données
#   autour de la moyenne (tendance centrale).

# Formule de Koenig (développement du carré) :
# Var(x) = E[x^2] - (E[x])^2
# c’est-à-dire :
# Var(x) = moyenne des x^2 - (moyenne des x)^2

# Propriété de changement d’échelle :
# Soient a, b ∈ R, et y = a * x + b
# → Alors :
# Var(y) = a^2 * Var(x)

# Écart-type :
# σ(x) = √Var(x)
# → Il a la même unité que les données.

# Propriété :
# σ(ax + b) = |a| * σ(x)