Notes Maths Loi Normale N(m;σ^2) E(X)=m Var(X)=σ^2 Densite: fx(x)= (1/σ√2π)exp(-1/2*[(x-m/σ)^2]) Si Y=aX+b-->N(m;σ^2) alors Y-->N(am+b;a^2σ^2) ++++++++++++++++++++++++++++++++ Loi Normale Centree reduite N(0;1) E(X)=0 Var(X)=1 Densite: fx(x)= (1/√2π)exp(-x^2/2) phi(-t) = 1-phi(t) ++++++++++++++++++++++++++++++++ Loi exponentielle E(lambda) E(X)=1/lambda Var(X)=1/lambda^2 Densite: fx(x)=lambda*exp(-lambda*x) P(-1<X<3)= integrale 1-->3 de f(x)dx=lambda*exp(-lambda*x) P(X>T+s|X>s) = P(X>T+s inter X>s)/P(X>s) <=> P(X>T+s)/P(X>s) Loi ax+b ax+b - -> U (a*mx + b; a*sigma + b) - -> N(a*mx+b ; a^2*sigma^2) h cpm et bornee sur R E(h(y))=E(h(ax+b)) <=> integrale infini de h(ax+b)fx(X)dx on pose y=ax+b alors x=(y-b)/a <=>dx=1/a dy on remplace dans l'expression fy(Y)=lambda/a*exp(-lambda*((y-b)/a)) 1| [b;+infini[ (y) p(0<T<4)=0.5 integrale 0 a 4 de fx(x) fx(x) = lambda*exp(-lambda*x) on trouve la valeur de lambda P(5<t<6)-->integrale 5 a 6 de fx(x) mais on remplace lambda par sa valeur ++++++++++++++++++++++++++++++++ Loi Uniforme E(X) = a+b/2 Var(X) = (b-a)^2/12 Y=-ln(X)/lambda on considere h, fonction cpm et bornee sur R E(h(Y))=integrale sur R h(Y)fy(Y)dy <=>h(-ln(X)/lambda)fx(x)dx on pose y=-ln(X)/lambda dy=-1/x*lambda dx <=>dx=-lambda*x dx fy(y)=lambda*exp(-lambda*y) ++++++++++++++++++++++++++++++++ Fonction de repartition Conditions : F croissant F continue Lim- F(x)=0 Lim+ F(x)=1 Il existe une var tel que F(x)=P(X=<u) fx(X)=F'(X) Verifier fonction repar F(X)=P(X<u)= integrale f(t)dt Fx(X)= dF(X) si x<a dF(X) si a<x<b dF(X) si x>b P(-1<X<3)= integrale 1-->3 de fx(t)dt = F(3)-F(-1) Determiner fonction repar F(X)=P(X<u)= integrale f(t)dt ++++++++++++++++++++++++++++++++ Densite de probabilite Conditions : F croissant F continue par morceaux Integrale de F(x)dx=1 ++++++++++++++++++++++++++++++++ Loi de Rayleigh Exemple Y=X^2 fy(t)=Fy'(t) [P(Y<t)]'=[P(X^2<t)]' =[P(-rt<X<rt)]' ++++++++++++++++++++++++++++++++ Loi de Pareto valeurs de K une variable aleatoire X de densite f est integrable ? I=integrale sur R x*f(x)dx doit cv Riemann si +infini k>1 CV k<1 DV si -infini k>1 DV k<1 CV fonction repar Integrale -infi a t de F(x)dx t<r : Fx(t)=integrale de -infini a t de ... t>r : Fx(t)=integrale de r a t... Revenus medians a r barre>r Fx(rm)=1/2 en prenant Fx(t) comme le cas t>r On trouve un K=... Revenus moyens r_=E(X) integrale sur R de xf(x)dx On trouve un r_=... ++++++++++++++++++++++++++++++++ E(X)=integrale infini x*fx(X) E(X^2)=integrale infini x^2*fx(X) changer les bornes en fonction des données dans la consigne Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 ++++++++++++++++++++++++++++++++ TD2 Exo 2.4 Mr Le Cor Determiner x tel que p(x<X<x+b) soit maximal Il faut que f'(x)=0 fx'(x)= (1/√2π)exp(-1/2*[(x+b-m/σ)^2])* exp(-1/2*[(x-m/σ)^2]) <=> fx'(x)= (1/√2π)exp(-1/2*[(x-m/σ)^2])* [exp((-1/2σ^2)*[b(2x-2m+b)^2])]-1 <=> 2x-2m+b=0 <=> x=m-(b/2) f'(x)>0 sur ]-infini;m-(b/2)[ f'(x)<0 sur ]m-(b/2);+infini[ x est donc un max global x appartient a [m-(b/2);m+(b/2) ++++++++++++++++++++++++++++++++ TD2 Suite Determiner la loi de Y=2X+1 X-->N(1;2) Fy(Y)=P(Y<y)=P(2X+1<y) <=>p(X<(y-1)/2) Alors Fy(Y) = Fx((y-1)/2) fy(y)=Fy'(y) <=>[Fx((y-1)/2)]' <=>1/2 * fx((y-1)/2) E(Y)=E(2X+1) <=>2E(X)-1 Var(Y)=Var(2x+1) <=>2^2 * Var(X) ++++++++++++++++++++++++++++++++ Remarques P(X<u)-->P(X-m/σ<u-m/σ) -->P(N<u-m/σ) -->phi(u-m/σ) P(X>u)-->1-P(X<u) P(X>t)<. Il faut distinguer les cas t>0 et t<0 P(a<X<b)-->P(X<b)-P(X<a) P(|X|<u)-->P(-u<X<u) Si F(X) est un escalier (cpm) alors loi discrete Si F(X) est un continue alors densite de probabilite IPP integrale u*dv u=x v=e^-x du=1 v=-e^-x [uv]-integrale v*du ++++++++++++++++++++++++++++++++ Integrale utiles integrale de 1/x^n <=>-1/(n-1)x^(n-1) integrale de u'/racine de u <=>2racine de u integrale de u'/u <=>ln|(u)| integrale de cos x <=>sin x integrale de sin x <=>-cos x integrale de 1/1+x^2 <=>arctan x integrale de 1/racine 1-x^2 <=>arcsin x integrale de -1/racine 1-x^2 <=>arccos x