loi bernouilli : si un tirage 

Loi binomiale : si n tirage  

E(X) = np 

V(X) = np(1-p) 

E(X+Y) = E(X)+E(Y) 

1-p = q 

P(X=k) = (k parmi n) x p^k x q^(n-k) 

O(x) = sqrt(V(X)) 

V(X) = E(X2) – E(X)2 

rédaction : pour donner la loi de X 

 Je repete n fois le schema, X compte le nbre de succès : Alors loi binomiale  

B(n,p), E(X) = np, V(X) = ..., P(X=k) =... 

  

Loi geometrique :  

P(X = k) = pq^(k-1) 

E(X) = 1/p 

V(X) = (1-p)/p2 

 

Rédaction : Pour donner la loi de X 

Je repete indifiniment le schema, X compte le rang du premier succès :  

X suit g(p), E(X) = ..., V(X) = ..., P(X=k) = ... 

 

Somme de q^k = (1-q^(n+1))/(1-q) 

P(X>n) = P((X1 = 0) inter (X2 = 0) inter ... inter (Xn = 0)) 

              = multiplication (P(Xi = 0)) = (1-p)^n 

Quand on cherche maximale : P(X>n) > maximale 

Quand on cherche minimale : 1-P(X>n) > minimale 

 

 

Loi de poisson : Si n> 50, p< 0,1 et np<10, alors on peut utiliser la loi de poisson : P(lambda)  

Lambda = np  

P(X = k) = e^-lambda x (lambda^k)/k ! 

Tableau de répartition de poisson : Tableau fournissant P(X<= k) selon lambda et k 

Exemple : P(X = 0) = P(X<=0) 

P(X = 1) = P(X<=1)-P(X<=0) 

P(X>= 5) = 1- P(X<=4) 

P(X>10) = 1-P(X<=10) 

 

 

 

Chap 5 : Couples de lois discretes 

Loi marginale : P(X=i) et P(Y=i) 

X et Y sont indépendants ssi :  

Quelque soit(i,j) appartenant à N2, P(X=i,Y=i) = P(X=i)P(Y=j) 

Ou que les lignes du tc sont proportionelles 

Ou que les colonnes du tc sont proportionelles 

 

Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)  

Si X et Y sont indépendants, alors Cov(X,Y) = 0 

  

 

 

 

 

 

 

Autres :  

A antislash B = B inter Abarre 

A inter Omega = A 

A U Omega = Omega  

A inter 0 = 0 

A U 0 = A 

(A inter B)barre = Abarre U Bbarre 

(A U B)barre = Abarre inter Bbarre  

Si A inter B = 0, alors evenements incompatibles 

 

P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A inter B) 

P(A) = card(A)/card(Omega) 

P(B)sachantA = P(B inter A)/P(A) 

E(X+Y) = E(X)+E(Y) 

E(aX) = aE(X) 

E(b) = b 

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) +2cov(X,Y) 

 

 

 

 

Formule proba totale :  

Si B un evenement alors quelque soit A inclus dans omega :  

P(A) = P(A inter B) + P(A inter Bbarre) 

Ou encore si 0<P(B)<1 

P(A) = P(A)sachantBP(B) + P(A)sachantBbarreP(Bbarre) 

P(A) = Somme(i=1, n) P(A inter Bi) 

 

Formule de Bayes :  

Soit A et B deux evenements tels que P(A) > 0 et 0<P(B)<1 

P(B)sachantA = P(A inter B)/P(A) = P(A)sachantBP(B)/P(A)  

= P(A)sachantBP(B)/ P(A)sachantBP(B) + P(A)sachantBbarreP(Bbarre) 

P(Bk)sachantA = P(A)sachant BkP(Bk)/Somme(i=1,n)P(A)sachantBiP(Bi) 

 

 

Indépendance :  

Deux evenements sont independant ssi : P(A inter B) = P(A) x P(B) 

Et P(B)sachant A = P(B) 

 

 

Loi uniforme :  

X suit U(1,n) ss E = {1,.... ,n} et quelque soit k = 1,.....,n, P(X = k) = 1/n 

E(X) = Somme(k=1, n) kP(X=k) = (n+1)/2 

E(X2) = (n+1)(2n+1)/6 

 

 

 

Cardinaux :  

Si sans remise successivement : Omega = n(n-1)(n-2)... 

Si sans remise simultanément : Omega = (k parmi n) 

Si avec remise : n^k