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Exercice – Loi Exponentielle (sans mémoire)

Soit λ > 0 et X ~ E(λ)

1. Calcul de P(1 ≤ X < 3), P(X > t), P(X ≥ t)

On rappelle que la densité : f(x) = λ * exp(-λx) pour x ≥ 0

P(1 ≤ X < 3) = ∫13 λ * exp(-λx) dx  
= [-exp(-λx)]13  
= exp(-λ*1) - exp(-λ*3)  
= e^(-λ) - e^(-3λ)

P(X > t) = ∫t+∞ λ * exp(-λx) dx  
= [-exp(-λx)]t+∞ = 0 - ( -exp(-λt) ) = exp(-λt)

P(X ≥ t) = P(X > t) car la densité est continue  
⇒ P(X ≥ t) = P(X > t) = e^(-λt)

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2. Propriété sans mémoire : P(X ≥ t + s | X ≥ s)

Par définition :
P(X ≥ t + s | X ≥ s) = P(X ≥ t + s ∩ X ≥ s) / P(X ≥ s)  
= P(X ≥ t + s) / P(X ≥ s)

Or :  
P(X ≥ t + s) = e^(-λ(t + s))  
P(X ≥ s) = e^(-λs)

Donc :
P(X ≥ t + s | X ≥ s) = e^(-λ(t + s)) / e^(-λs) = e^(-λt)

⇒ P(X ≥ t + s | X ≥ s) = P(X ≥ t)

Donc **la loi exponentielle est sans mémoire**.

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