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Exercice – Loi Log-Normale (correction)

Soit X ~ Log-N(μ, σ2), donc ln(X) ~ N(μ, σ2)
On pose Y = 1/X

1. Déterminer la loi de Y

Y = 1/X ⇒ ln(Y) = -ln(X)

Or ln(X) ~ N(μ, σ2) ⇒ ln(Y) = -ln(X) ~ N(-μ, σ2)

Donc Y suit une loi log-normale de paramètres (-μ, σ2)

Densité de Y :
fy(y) = 1 / (y * σ * √2π) * exp( - (ln(y) + μ)2 / (2σ2) ) pour y > 0

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2. Montrer que X = μ + σZ

On sait : ln(X) ~ N(μ, σ2)
Donc : ln(X) = μ + σZ avec Z ~ N(0,1)
⇒ X = exp(μ + σZ)

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3. Calculer P(0 ≤ Y ≤ 4), pour μ = 1 et σ2 = 2 ⇒ σ = √2

Y suit Log-N(-1, 2)

On veut P(0 ≤ Y ≤ 4) = P(ln(Y) ∈ [ln(0), ln(4)])  
= P(Z ∈ [ (ln(0) + 1)/√2 , (ln(4) + 1)/√2 ])

Mais ln(0) → -∞ ⇒ P(Y ≤ 4) = P(Z ≤ (ln(4) + 1)/√2)

⇒ ln(4) ≈ 1.386 ⇒ (1.386 + 1)/√2 ≈ 2.386 / 1.414 ≈ 1.686

Donc : P(0 ≤ Y ≤ 4) ≈ Φ(1.686) ≈ 0.954

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4. Espérance et Variance de Y

Y ~ Log-N(-μ, σ2) donc :

E(Y) = exp( -μ + σ2/2 )
Var(Y) = [exp(σ2) - 1] * exp( -2μ + σ2 )

Avec μ = 1, σ2 = 2 :

E(Y) = exp( -1 + 1 ) = exp(0) = 1  
Var(Y) = [exp(2) - 1] * exp(-2 + 2) = (e2 - 1) * 1 ≈ 6.389

Donc :  
E(Y) = 1  
Var(Y) ≈ 6.389

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