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Soit x(t) un signal à temps continu et causal (nul pour t < 0).
On définit la transformée de Laplace de cette fonction par :
X(s) = L (x(t)) = inté de 0 à + inf x(t)e^(−st) dt

Quatre signaux fondamentaux : leur transformée de Laplace
Impulsion de Dirac :
L (δ(t)) = 1

Échelon unité :
L (U (t)) = 1/s

Rampe unité :
L (tU (t)) = 1/s^2

Exponentielle causal :
L (e^(−at)U(t)) = 1/(s+a)

Propriété impulsion de Dirac :
------------------------------

inté de - inf à + inf de δ(t)f(t)dt = f (0)

=>inté de - inf à + inf de δ(t)f(t)dt 
= lim a->0 de (inté de -inf à +inf de Ra(t)f(t)dt)
= lim a->0 de (inté de 0 à a de 1/a f(t)dt)
= lim a->0 de 1/a (inté de 0 à a de f(t)dt)
= lim a->0 de F(a)-F(0)/a-0=F'(0)=f(0)
avec la notation : F'=f
car F est ici une primitive de f.


Échelon unité :
------------------------------
L’échelon unité U (t) est défini selon :
U (t) = 0 si t < 0
U (t) = 1 si t > 0

Rampe unité :
-------------------------------
La rampe unité R(t) est définie selon :
R(t) = 0 si t < 0
R(t) = t si t > 0

Exponentielle causal :
--------------------------------
courbe :
  
         1
         |\
         | \
         |  \
0________|   \_______________
        t=0
        
signal x(t) transformée de Laplace X(s)
δ(t) : 1
U(t) : 1/s
t U(t) : 1/s^2
tn U(t) : n!/s^n+1
e−at U(t) : 1/(s+a)
tne−atU(t) : n!/((s+a)^n+1)
omega=w
sin(wt) U(t) : w/(s^2+w^2)
cos(wt) U(t) : s/(s^2+w^2)
e^(−at)sin(wt) U(t) : w/(((s+a)^2)+w^2)
e^(−at)cos(wt) U(t) : (s+a)/(((s+a)^2)+w^2)

Propriétés importantes et utiles de la transformée de Laplace
Voici quelques propriétés importantes de la transformée de Laplace très
utiles pour calculer ou simplifier les calculs :
- Linéarité
- Dérivation par rapport au temps
- Dérivée de l’image
- Intégration par rapport au temps
- Théorème du retard
- Théorème de translation
- Changement d’échelle
- Produit de convolution
- Théorème de la valeur initiale
- Théorème de la valeur finale


Linéarité
L(a*x(t))=a*L(x(t))
L(x(t)+y(t))=L(x(t))+L(y(t))


Dérivation par rapport au temps
L (dx(t)/dt ) = sX(s) − x(0)
L (d^2x(t)/dt^2 ) = s^2 X(s) − sx(0) −  x'(0)

Cas particulier très courant
Si toutes les conditions initiales sont nulles :
L (dx(t)/dt ) = sX(s)
L (d^2x(t)/dt^2 ) = s^2 X(s)

Dérivée de l’image
L((t^n) x(t)) = ((−1)^n)*(X^(n))*(s)

Intégration par rapport au temps
L(inté de 0 à t de x(t)dt) = 1sX(s)

Théorème du retard
L(x(t−t0)) = e^(−st0X(s))

Théorème de translation
L (e^(−atx(t))) = X(s + a)

Théorème du changement d’échelle
L (x(at)) = (1/a)X(s/a)

On en déduit une autre forme de cette formule : 
L (x(t/a)) = aX(as)

Le produit de convolution des fonctions f(t) et g(t) est défini par :
(f ∗ g)(t) = inté de 0 à t de f(taux)g(t−taux)dtaux = (g ∗ f)(t)

La transformée de Laplace de ce produit de convolution vaut alors très
simplement :
L((f ∗ g)(t)) = F(s).G(s)

Le calcul difficile du produit de convolution (f ∗ g)(t) des deux fonctions f
et g se réduit ainsi à calculer plus facilement F(s)=L(f(t)) et
G(s) = L (g(t)) puis de les multiplier entre eux pour obtenir directement
L ((f ∗ g)(t)); alors (f ∗ g)(t) = L^−1(F(s).G(s)


Produit de convolution dans le domaine complexe
La transformée de Laplace du produit de f (t) et g(t) vaut :
L(f(t).g(t))=(F ∗ G)(s)

Théorème de la valeur initiale
lim x(t) = lim de s->+inf de sX(s)
 t->0

Remarque importante
En effet, dans nos théorèmes, lorsqu’on écrit x(0), il faut comprendre
x(0+), soit encore lim t->0+
x(t) car les signaux sont de nature causale, donc
définis strictement pour t>0 et nuls pour t<0.


Remarque importante
Théorème de la valeur finale
lim x(t) = lim sX(s)
t->+∞      s->0

Attention !
Ce théorème ne s’applique que si les pôles de sX(s) sont à partie réelle
négative !

Retenons !
Le théorème de la valeur finale ne s’applique que si les pôles de sX(s) sont
à partie réelle négative (et si les limites sont bien définies) !




Laplace calculatrice
Mathis CHATILLON
Romain THEPAUT;Raphaël COUVERT;Remi GAUTIER;Elsa SOULIGNAC