FICHE RECAPITULATIVE

1) STATISTIQUES PAR CLASSES

Soit N = effectif total, ni = effectif de la i-eme classe, ci = centre de classe, Fi = FCC en fraction (0 a 1)

MEDIANE Me
 Me = a + w*(0.5 - Fprev)/(Fnext - Fprev)
  a = borne inferieure de la classe mediane
  w = largeur de la classe
  Fprev = FCC avant la classe
  Fnext = FCC apres la classe

MOYENNE xbar
 xbar = sum(ci*ni)/N

VARIANCE et ECART-TYPE
 Var = sum(ci^2*ni)/N - xbar^2
 sigma = sqrt(Var)

2) BERNOULLI ET BINOMIAL

Xi ~ Bern(p)
 E(Xi) = p
 Var(Xi) = p*(1-p)

X = sum Xi  ~ Binomial(n,p)
 E(X) = n*p
 Var(X) = n*p*(1-p)

3) APPROXIMATION PAR TCL

Pour n grand, X ~ Bin(n,p) approximable par Normal(E,Var)
 E = n*p
 Var = n*p*(1-p)

Z = (X - E)/sqrt(Var)
 P(X <= x) ~ Phi((x + 0.5 - E)/sqrt(Var))   // si correction de continuite
 P(X >= x) ~ 1 - Phi((x - 0.5 - E)/sqrt(Var))

4) INTERVALLE DE CONFIANCE POUR PROPORTION

phat = X/n
IC a 1-alpha : phat +/- z_{1-alpha/2} * sqrt(phat*(1-phat)/n)
 z_{1-alpha/2}=1.96 pour 95%

5) LOI EXPONENTIELLE ET ESTIMATEURS

Xi i.i.d. ~ Exponential(lambda)

Likelihood
 L(lambda) = lambda^n * exp(-lambda*sum(xi))

Log-likelihood
 lnL = n*ln(lambda) - lambda*sum(xi)

EMV (MLE)
 d(lnL)/d(lambda) = n/lambda - sum(xi) = 0
 --> lambda_hat = n / sum(xi) = 1/xbar

Biais de lambda_hat
 E(lambda_hat) = (n-1)/n * lambda

Correcteur sans biais
 lambda_tilde = n/(n-1) * lambda_hat

Convergence
 Var(lambda_hat) -> 0  =>  lambda_hat -> lambda