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Loi Log-Normale

Définition :  
Y suit une loi log-normale de paramètres (μ, σ2)  
⟺ ln(Y) suit une loi normale N(μ, σ2)

Donc :  
 Y = e^X avec X ~ N(μ, σ2)  
 ⟺ X = ln(Y)

1. Densité de la loi log-normale :

 f_Y(y) = {
   (1 / (y * σ * √(2π))) * exp( - (ln y - μ)2 / (2σ2))  si y > 0  
   0                                       sinon  
 }

Support : y ∈ R+*

2. Espérance de Y :

 E(Y) = exp(μ + σ2 / 2)

3. Variance de Y :

 Var(Y) = [exp(σ2) - 1] * exp(2μ + σ2)

Remarques :
- Distribution asymétrique, uniquement définie sur R+
- Elle est utilisée en modélisation de données strictement positives (revenus, temps, etc.)

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Exemple :

Soit Y ~ log-N(μ=1, σ2=2)  
Donc σ = √2

Alors :

E(Y) = exp(1 + 2/2) = exp(2) ✅  
Var(Y) = [exp(2) - 1] * exp(2 + 2)  
    = (e2 - 1) * e4 ✅

Donc :

 E(Y) ≈ 7.389  
 Var(Y) ≈ (7.389 - 1) * 54.598 ≈ 6.389 * 54.598 ≈ 348.6 ✅

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