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Exercice – Loi de Y = 1/X3 avec densité donnée

Soit f(x) = {
 0     si x < 1  
 1/x2  si x ≥ 1  

1. Montrer que f est une densité de probabilité

On vérifie que f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R ✅  
Puis :  
 ∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx  
 = ∫_{1}^{+∞} (1/x2) dx  
 = [-1/x]_{1}^{+∞}  
 = 1 ✅

Donc f est une densité de probabilité.

On considère une v.a.r X de densité f.  
On veut déterminer la loi de Y = 1/X3 avec la méthode de l'espérance E(h).

Soit h une fonction continue, bornée et mesurable sur R.  
Alors :  
 E[h(Y)] = E[h(1/X3)]  
     = ∫_{1}^{+∞} h(1/x3) * f(x) dx  
     = ∫_{1}^{+∞} h(1/x3) * (1/x2) dx

Changement de variable :  
 y = 1/x3 ⇒ x = y^(-1/3)  
 dx = (-1/3) * y^(-4/3) dy  
Quand x → 1, y → 1  
Quand x → ∞, y → 0

Donc :

 E[h(Y)] = ∫_{0}^{1} h(y) * (1/x2) * |dx/dy| dy  
Mais :  
 x = y^(-1/3) ⇒ x2 = y^(-2/3)  
 dx/dy = -1/3 * y^(-4/3) ⇒ |dx/dy| = (1/3) * y^(-4/3)

Donc :

 f_Y(y) = (1/x2) * |dx/dy|  
    = y^(2/3) * (1/3) * y^(-4/3)  
    = (1/3) * y^(-2/3)

Domaine : y ∈ (0 ; 1]

Donc la densité de Y est :  
 f_Y(y) = {
  (1/3) * y^(-2/3)  si y ∈ (0 ; 1]  
  0          sinon  
}

✅ Densité correcte (intégrable sur (0 ; 1] et ∫ f_Y(y) dy = 1)

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