gene congruentiel lineaire

Entrée : a, c, m, x0 (seed)
Sortie : suite Ui uniformes sur [0,1]

Pour i = 1 à N :
    xi+1 = (a*xi + c) mod m
    Ui = xi / m
Fin


methode transfo inverse

Entrée : U ~ Unif[0,1], F(x) = P(X ≤ x)
Sortie : X ~ F

X = F−1(U)


methode accepation rejet

Etape 1 : Générer X selon densité g(x)
Etape 2 : Générer U ~ Unif(0,1)
Si U ≤ f(X)/(c*g(X)) :
    accepter X
Sinon :
    rejeter et recommencer




methode box muller
gene loi normales

Générer U1, U2 ~ Unif[0,1]
R = √(-2 ln U1)
θ = 2πU2
Z1 = R cos(θ)
Z2 = R sin(θ)
Retourne Z1, Z2 ~ N(0,1)


decomposition cholesky

Entrée : matrice Σ (symétrique définie positive)
Sortie : matrice triangulaire inférieure A

Pour j = 1 à d :
    Pour i = j à d :
        v = Σ[i,j]
        Pour k = 1 à j-1 :
            v = v - A[i,k]*A[j,k]
        A[i,j] = v / √(v_jj)
Retourner A

permet de simuler un vect normal


mouvement brownien geometrique

X(t+Δt) = X(t) * exp( (μ - 1⁄2σ2)Δt + σ√Δt * Z )


pricing call européen

Entrées : S0, K, r, σ, T, N
Pour i = 1 à N :
    Z ~ N(0,1)
    ST = S0 * exp( (r - 1⁄2σ2)T + σ√T Z )
    Payoff_i = max(ST - K, 0)
Fin
Prix = e^(-rT) * Moyenne(Payoff)


shéma d'euler

Pour i = 0 à n-1 :
    X_{i+1} = X_i + μ(X_i)Δt + σ(X_i)√Δt * Z_i


shéma de millstein

Pour i = 0 à n-1 :
    X_{i+1} = X_i + μ(X_i)Δt + σ(X_i)√Δt * Z_i
               + 1⁄2 σ(X_i)σ'(X_i)[(Z_i2 - 1)Δt]


methode des variables
antithétiques

Pour i = 1 à N/2 :
    U = rand()
    X1 = F−1(U)
    X2 = F−1(1 - U)
    Moyenne = (h(X1) + h(X2))/2
Fin

réduit la variance

methode des variables de controle

Connaître une variable g(X) dont E[g(X)] est connu.
Simuler h(X) et g(X)
b* = Cov(h,g) / Var(g)
Y = h(X) - b*(g(X) - E[g(X)])
Estimateur = Moyenne(Y)


intervalle de confiance

Marge = z * (σ / √N)
IC = [moyenne - marge , moyenne + marge]