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Created on February 17, 2022
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from math import*

Soit f une fonction continue 
et positive sur un intervale 
[a,b]

La fonction Fa:x->|f(t)dt est la 
primitive de la fonction f sur 
l'intervelle [a,b] telle Fa(a)=0 
et a pour dérivée f. 

Cas où f est stt croissante 
On considère deux réels x et 
x+h de l'intervalle [a,b] avec
h>0
F(x+h)-F(x)=|f(t)dt-|f(t)dt
           =|f(t)dt+|f(t)dt
           =|f(t)dt 
Ainsi, F(x+h)-F(x)=|f(t)dt est
compris entre  les aires des
rectangles ABFE et ABHG
Or A(ABFE)=h*f(x) et
A(ABHG)=h*f(x+h)

Comme f est croissante sur
[a,b], on a: h*f(x)<F(x+h)

Puisque h>0, 
on a f(x)<(F(x+h)-F(x))/h<f(x+h)

lim h->0 f(x)=f(x) et comme
f est continue sur [a,b] 
alors lim f(x+h)=f(x) alors
d'après le théorème des
gendarmes alors lim h->0 
F(x+h)-f(x)/h=f(x) 
et donc : 
  F'(x)
  =lim h->0 
  =F(x+h)-F(x)/h
  =f(x)
  
Soit F'=f donc f est une 
primitive de f 


+ schéma