b.py

Created on November 11, 2021
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from math import*
 Si q>1, il existe a€R+, q=1+a 
d’ou q^n=(1+a)^n 
or Vn€N, (1+a)^n>=1+nq 
ainsi d’apres l’inegalite de bernoulli 
on a Vn€N, q^n>= 1+na 
or lim 1+na=+inf car a>0 
d’apres le theoreme de comparaison 
lim q^n=+inf 

  Si q=1 alors Vn€N 
q^n=1 donc (q^n) converge vers 1.
  
  Si 0<q<1 alors 1/q>1 donc lim (1/q)^n=+inf car (1/q)^n=1/qn 
lim q^n=0 

  Si -1<q<0 alors on pose q’=-q donc 0<-q<1 
(q^n)=(-q’)^n=(-1)^nq’n 
Vn€N, -q’n<=q^n<=q^n<=q’n car 
-1<=(-1)^n<=1 
d’apres le cas precedent 
lim q’n=0 et lim -q^n=0 
donc lim q^n=0 
d’apres le theoreme des gendarmes 

 Si q<-1 : on pose q’=-q donc q’>1 
q^n=(-1)^nq’n donc 
-q’^n<=q^n <=q’n 
or lim q’n=+inf donc (q’n) 
n’est pas majore ni minore 
donc qn n’a pas de lim