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Created on February 27, 2022
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1.
1**4+2*1**3-1-2=1+2-1-2=0. 
Donc, 1 est une solution entière de l équation (E)

2.
(z**2+z-2)(z**2+z+1)
=z**4+z**3+z**2+z**3+z**2+z-2z**2-2z-2 
=z**4+2z**3-z-2

3.
Soit z un nombre complexe. z**4+2z**3-z-2=0
donc soit z**2+z-2=0
ou z**2+z+1=0

Le discriminant de l equation z**2+z-2=0 
est delta=1**2-4*1*(-2)=9

L equation z**2+z-2=0 admet deux
solutions reelles distinctes a savoir 
z1=(-1+racine(9))/2= 1 
et z2 =(-1-racine(9))/2=-2

Le discriminant de l equation z2 +z +1 = 0 
est delta=1**2-4*1*1=-3.
delta est strictement negatif et donc l equation
z**2+z+1=0 admet deux solutions non reelles conjuguees a savoir
z3 =(-1+i*racine(3))/2
et z4=(-1-i*racine(3))/2

4.
On note A, B, C et D les points d affixes respectives
a=1
b=-1/2+i*racine(3)/2
c=-2
d=-1/2-i*racine(3)/2

Les coordonnees respectives des points A, B, C et D sont 
(1,0)
(-1/2,racine(3)/2)
(-2, 0)
(-1/2,-racine(3)/2)

Le vecteur >AB a pour coordonnees
(-3/2,racine(3)/2)
et le vecteur >DC a pour coordonnees
(-3/2,racine(3)/2)
Ainsi, >AB = >DC donc le quadrilatere ABCD est un parallelogramme

Le vecteur >AC a pour coordonnees 
(-3, 0)
et le vecteur >BD a pour coordonnees
(0,-racine(3))
Ensuite, >AC.>BD=(-3)*0+0*-racine(3)=0
Les diagonales du parallelogramme ABCD sont perpendiculaires
et donc le parallelogramme ABCD est un losange

Pour que ABCD soit un carre il faut qu'il est
ses diagonales de meme longueur (AC = BD) 
Donc il faut que |zc-za|=|zd-zb|
|-2-1|=3
|(-1/2-i*racine(3)/2)-(-1/2+i*racine(3)/2)|=
donc ABCD n est pas un carre