1.a) Je calcule le module |1+i*rac(3)/3|=rac(1**2+(rac(3)/3)**2)=rac(1+3/9) =rac(12/9)=2/rac(3) z=r*e**io donc 1+i*rac(3)/3=2/rac(3)*(rac(3)/2+(rac(3)*rac(3)/2*3)*i) =2/rac(3)(rac(3)/2+(1/2)*i)=2/rac(3)(cos(pi/6)+i*sin(pi/6)) =(2/rac(3))e**i(pi/6) 1+i*rac(3)/3=(2/rac(3))e**i(pi/6) b)z1=(2/rac(3))e**i(pi/6) z2=(2/rac(3))e**i(pi/6)*(2/rac(3))e**i(pi/6) =((2/rac(3))e**i(pi/6))**2 =(4/3)e**i(pi/3) 2.a) Je vais demontrer par recurence initialisation: (2/rac(3))**0*e**i*0*(pi/6)=1=z0 heredite: je suppose que zn=((2/rac(3))**n)e**i*n*(pi/6) alors zn+1=(1+i(rac(3)/3))*zn =((2/rac(3))e**i(pi/6))*zn =(2/rac(3))e**i(pi/6)*((2/rac(3))**n)e**i*n*(pi/6) =((2/rac(3))**(n+1))e**i*(n+1)*(pi/6) conclusion: pour tout entier naturel n : zn=((2/rac(3))**n)e**i*n*(pi/6) b) An: ((2/rac(3))**n)*cos((n*pi)/6) ; ((2/rac(3))**n)*sin((n*pi)/6) donc >OA0 a les memes coordonnees A0 (1;0) donc >OA0 (1;0) Pour que les 3 points soient alignes il faut que >OA0 et >OAn soient colineaire donc il faut que : 1*((2/rac(3))**n)*sin((n*pi)/6)-O*((2/rac(3))**n)*cos((n*pi)/6)=0 O*((2/rac(3))**n)*cos((n*pi)/6)=0 1*((2/rac(3))**n) ne peut pas =0 sin((n*pi)/6)=0 quand n=6 car sin(pi)=0 Donc ils sont alignés pour n=6 3.a) dn'(An;An+1) b) d0=|z1-z0|=|1+i(rac(3)/3)-1|=|i(rac(3)/3)|=rac(3)/3 c) zn+2-zn+1=(1+i(rac(3)/3))*zn+1-(1+i(rac(3)/3))*zn=(1+i(rac(3)/3))(zn+1-zn) d) dn+1=|zn+2-zn+1|=|(1+i(rac(3)/3))*zn+1-(1+i(rac(3)/3))*zn| =|(1+i(rac(3)/3))(zn+1-zn)| =(2/rac(3))*dn Donc la suite est geotmetrique de raison 2/rac(3) et de 1er terme rac(3)/3 dn=q**n*d0=(2/rac(3)**n)*rac(3)/3 4.a) |zn|=(2/rac(3))**n |zn|**2+dn**2=(2/rac(3))**2n+(2/rac(3)**2n)*rac(3)/3 =(1+1/3)((2/rac(3))**2n) =(4/3)*((2/rac(3))**2n) =(2/rac(3)**2)*((2/rac(3))**2n) =(2/rac(3)**2n+2)=(2/rac(3)**2(n+1)) =|zn+1|**2 b) Vu que |zn|**2+dn**2=|zn+1|**2 alors OA**2n+1=OA**2n+An*AN**2n+1 Grace a la reciproque du theoreme de pythagore, on peut donc dire que le triangle OAnAn+1 est rectangle en An.