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exo 1:

Partie A:
1) La représentation graphique de la fonction densité de probabilité d'une
variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne 50 kg et d'écart-type
1 kg présente un maximum à l'abscisse x = μ = 50. Ceci exclut la courbe f, dont
le maximum est à l'abscisse x = 40. Pour départager les courbes g et h, on
calcule l'ordonnée du maximum de la fonction densité de probabilité d'une
variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 50 kg et d'écart-type 1
Trouver courbe : loi normal m=50 e=1 P ( 49,5 ≤ X ≤ 50,5) ≈ 0,38
On obtient : 0,38 soit 0,4 : c'est donc la courbe g qui est la bonne 

2) P ( 49,5 ≤ X ≤ 50,5) ≈ 0,3829 m=50 e=1

3) Le pourcentage de sacs de masse inférieure à 49 kg s'obtient en calculant
P ( X ≤ 49) et en multipliant par 100. P ( X ≤ 49) ≈ 0,1587 donc le pourcentage
de sacs de masse inférieure à 49 kg est de 15,87 %

Partie B:
1) a) n = 36 ≥ 30 : il s'agit d'un grand échantillon σ. La distribution
d'échantillonnage des moyennes tend vers la loi normale N ( μ ; √n ) avec σ
écart-type de la population. La moyenne de X est la moyenne de la population
: μ = 50 kg L'écart-type de la population est connu : σ = 1 kg. L’écart-type de
la variable aléatoire X , moyenne de l'échantillon, est : σ/√n = 1/√36

b) P ( 49,5 ≤ X ≤ 50,5) ≈ 0,9973  m=50  e=0.1667

c) L'intervalle de confiance au niveau de 95 % de la masse moyenne d'un
échantillon de 36 sacs est : I95%=[μ–t (σ/√n) ;μ+t (σ/√n)] 
μ = 50 t = 1,96 (loi normale) σproduction = 1 avec : n = 36
2) a) n = 25 < 30 : il s'agit d'un petit échantillon de taille comprise entre 11
et 29 L'écart-type de la population est connu : σ = 1 kg. La distribution
d'échantillonnage des moyennes tend vers la loi normale N ( μ ; √n ) avec
σ  de la population.
La moyenne de la variable aléatoire X, moyenne de l'échantillon, est la moyenne
de la population : μ=50kg. L’écart-type de la variable aléatoire X , moyenne de
l’échantillon, est : σ/√n  = 1/√25 =0,2 kg  

b) P ( 49,5 ≤ X ≤ 50,5) ≈ 0,9876  m=50 e=0.2
 
c) L'intervalle de confiance au niveau de 95 % de la masse moyenne d'un
échantillon de 25 sacs est : I95%=[μ–t (σ/√n) ;μ+t (σ√n)] μ = 50 t = 1,96
(loi normale) σproduction = 1 avec : n = 25 Donc : I95%=...

3) a) n = 9 < 30 : il s'agit d'un très petit échantillon de taille inférieure
à 10.La distribution d'échantillonnage des moyennes tend vers la loi de Student
à n – 1 = 9 – 1 = 8 degrés de liberté. La moyenne de la variable aléatoire X,
moyenne de l'échantillon, est la moyenne de la population : μ=50kg L'écart-type
de la population est connu : σ = 1 kg. L’écart-type de la variable aléatoire X ,
moyenne de l'échantillon, est : σ /√n= 1/√9 =0,3333kg

c) L'intervalle de confiance au niveau de 95 % de la masse moyenne d'un
échantillon de 25 sacs est : I95%=[μ–t (σ/√n) ;μ+t (σ/√n)]
avec : n = 9 μ = 50 σproduction = 1  t = 2,306 
Donc : 95%=..


Partie C 

1) m = 50,2186 kg s ≈ 0,6014 kg Variance : s2 ≈ 0,3617
par la calculatrice REGRESSION 
2) La masse estimée de la production vaut la masse observée de l'échantillon
: μ = m = 50,2186 kg 

3) σ=s √(n−1/n) = 0,6014√6/7 ≃0,6496 L'écart-type estimé de la production
vaut 0,6496 kg

4) n = 7 ≤ 10 : il s'agit d'un très petit échantillon de taille inférieure à 10. 
La distribution d'échantillonnage des moyennes tend vers la loi de Student
à n – 1 = 7 – 1 = 6 degrés de liberté.

L'intervalle de confiance au niveau de 95 % de la masse moyenne de la
production est : I95%=[μ–t (σ/√n) ;μ+t (σ/√n)]
avec : n = 7 μ = 50,2186 t = 2,447  σproduction=0,6496 
Donc : I95%=...

Bonus : L'intervalle de confiance au niveau de 99 % de la masse
moyenne de la production est : I99%=[μ–t (σ/√n) ;μ+t (σ/√n)]
avec : n = 7 μ = 50,2186 t = 3,707 σproduction=0,6496 
Donc : I95%=...

exo 2:

1) La proportion estimée (p) sur la population vaut la proportion observée (f)
sur l'échantillon : p = f = 33/100 = 0,3300

2) L'expérience qui consiste à choisir un habitant qui répond Oui est une épreuve
à 2 alternatives avec comme succès « choisir un habitant qui répond Oui » de
probabilité p = 0,33 et comme échec « choisir un habitant qui ne répond pas Oui »
de probabilité 1 – p = 0,67. Cette épreuve est répétée 100 fois de manière identique
et indépendante.
Le nombre de succès N suit donc une loi binomiale B(n;p) avec n = 100 et p = 0,33.
Moyenne E(N) = np et Ecart-type : σ(N) = √np(1 – p) 

Comme n ≥ 30 ; np=..≥5 et n(1-p)=..≥5, la variable aléatoire N peut être approchée
par la loi normale de moyenne E(N) = np et d'écart-type σ(N) = √np(1 – p) 

La variable aléatoire F = N / n peut être approchée par la loi normale de
moyenne np/n=p et d'écart-type (√np(1−p))/√n= √p(1−p)/n= √0,33(1−0,33)/100
≃0,0470

3) P ( 0,30 ≤ F ≤ 0,40) ≈ 0,6702  m=0.33 e=0.0470

4) L'intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion p est :
I 95%=[ f – t (√ f (1− f )/√n ) ; f +t (√ f (1− f )/√n )] 
avec : n = 100 f = 0,33 t = 1,96 Donc: I95%≃[..;..]=[..%;..%] 
Interprétation : Si on tire un grand nombre d'échantillons de taille 100,
dans 95 % des cas le taux de réponses Oui tombera entre % et %

5) L'amplitude de l'intervalle de confiance de la proportion p au niveau
de confiance de 95 % est : 
A= f – t (√ f (1− f )/√n ) - ( f +t (√ f (1− f )/√n ))] = 2(t (√ f (1− f )/√n )

Résolvons:  
2(t (√ f (1− f )/√n )=0,01 => √n = 2t (√ f (1− f )/0,01 )
=> n=(2t (√ f (1− f )/0,01)^2 
n=...  Il faut donc un échantillon de 33976 individus.