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Chaque année, la direction des affaires maritimes collecte des données relatives à l'état de la flotte de pêche française et l'INSEE réalise des analyses. On cherche à étudier l'évolution au cours du temps du nombre de marins embarqués sur les navires français ainsi que celle du nombre de bateaux actifs 

Partie A 

0*) Déterminer les coordonnées du point moyen de la série (xi;yi) 
0*) Moyenne xi : 5,5 Moyenne yi : 14087

1) Dans cette partie, on considère que l'évolution au cours du temps du nombre de marins embarqués sur les navires français est modélisée par la droite d'équation : y = – 368,62 x + 16115
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant votre réponse : 
Affirmation 1 : A partir du modèle affine, l'estimation du nombre de marins embarqués sur les navires français en 2007 est d'environ 16619 
Affirmation 2 : 88,7% des variations du nombre de marins sont expliquées par les variations du rang de l'année 
Affirmation 3 : le modèle affine retenu permet d'affirmer que, chaque année, le nombre de marins diminue de 369 environ 

1)Affirmation 1 : On calcule pour x = 1 : y^ = – 368,62×1 + 16115 = 15746 ≠ 16619 donc FAUX
Affirmation 2 : le coefficient de détermination vaut : R = r2 = 0,7871 ≠ 0,887 donc 78,7 % des variations du nombre de marins sont expliquées par les variations du rang de l'année donc FAUX
Affirmation 3 : a = – 368,62 ≈ – 369 donc ; chaque année, le nombre de marins diminue de 369 environ donc VRAI

2. Déterminer une estimation du nombre de marins embarqués sur les navires français en 2019 en supposant que la tendance se confirme 

2) Si la tendance se confirme, l'ajustement affine restera pertinent donc on peut utiliser la droite d'équation y = – 368,62 x + 16115 pour estimer le nombre de marins.
2019 correspond à x = 13 donc y = – 368,62×13 + 16115 = 11323
On estime qu'il y aura 11323 marins en 2019 

Partie B 
La variable statistique X désigne le rang de l'année
La variable statistique Z désigne le nombre total de navires actifs pour une année donnée 

1. Justifier que le choix d'un ajustement affine est possible mais pas le plus pertinent. On calculera le coefficient de corrélation et le coefficient de détermination 
1. L'ajustement de Z en X a pour paramètres : Attention à l'ordre : Z en X donc Z = aX + b 
L'ajustement affine est possible car : 
le coefficient de corrélation linéaire est très bon : – 0,9929 est inférieur à – 0,96 et très proche de – 1 
les résidus semblent assez faibles par rapport aux valeurs mesurées : en 1995 et 2016, on peut les 
estimer à vue à 100 individus, ce qui représente 1/40 soit 2,5% par rapport aux effectifs réels
Toutefois, l'ajustement n'est pas très pertinent car les points ne sont pas alignés le long d'une droite, ils ont plutôt une allure de parabole 

2. On souhaite faire un ajustement exponentiel. Pour cela, on effectue un changement de variable et on pose T = ln(Z) 

a) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de T en X. Les coefficients seront arrondis à 10–2 près
Une équation de la droite d'ajustement de T en X est : t = – 0,02 x + 8,81 

b) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire et le coefficient de détermination
b) Le coefficient de corrélation linéaire vaut r = – 0,9969 Le coefficient de détermination vaut : R = r2 = 0,9939 

c) Soit ti^ la valeur estimée de ti en utilisant l'ajustement affine trouvé. On définit les résidus ei comme : ei = ti – ti^ Compléter le tableau ci-dessus en indiquant les ti , les ti^ , les résidus ei et les résidus comme pourcentage des valeurs mesurées. 
Liste des listes :
L1 : X
L2 : Z
L3 : T = ln(Z) = ln(L2)
L4 : T^ = – 0,02 X + 8,81 = – 0,02×L1 + 8,81 L5 : résidus e = t – t^ = L3 – L4 
L6 : résidus comme pourcentage des valeurs observées : e/t×100 = L5/L3×100 

d) L'ajustement de T en X est-il plus pertinent que l'ajustement de Y en X ? 
d) L'ajustement de T en X est plus pertinent que l'ajustement de Y en X car : 
les points sont mieux alignés le long de la droite (sur la calculatrice et sur le graphique ci-dessous) 
le coefficient de détermination est meilleur (0,9939 contre 0,9858) ; ce coefficient de détermination 
est très proche de 1, donc l'ajustement affine est de bonne qualité 
les résidus ei sont tous faibles par rapport aux valeurs observés ti : ils sont inférieurs à 0,23 % des 
valeurs observées 

3. a) Déterminer une expression de z en fonction de x
a) t = ln(z) = – 0,02 x + 8,81 donc z = e ln(z) = e – 0,02 x + 8,81

b) A l'aide de ce modèle, estimer le nombre total de navires actifs en 2019 
2019 : année de rang 25
Pour x = 25 : z = e – 0,02 × 25 + 8,81 = 4052
OU : t = – 0,02 x + 8,81 = – 0,02×25 + 8,81 = 8,31 
et z = e t = e 8,31 = 4064 Selon ce modèle, il y aurait donc 4052 navires en activité en 2020