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# Méthodes numériques pour EDO & EDP : Résumé détaillé et formules clés
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CHAPITRE 4 – Méthodes numériques pour EDO
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1. Définitions
   - EDO d'ordre n : y^(n) = f(t, y, y', ...)
   - Système d'ordre 1 via variables d'état.

2. Méthodes à un pas
   - **Euler explicite** (ordre 1) :
       y^{n+1} = y^n + h · f(t_n, y^n)
   - **α = 1/2 : méthode de Heun** :
       y^{n+1} = y^n 
                  + (h/2) · f(t_n, y^n)
                  + (h/2) · f(t_{n+1}, y^n + h·f(t_n, y^n))
   - **α = 1 : point milieu / Euler modifiée** :
       y^{n+1} = y^n 
                  + h · f(t_n + h/2, y^n + (h/2)·f(t_n, y^n))
   - **Runge–Kutta d’ordre 2, 3, 4** selon tableaux de Butcher.

3. Méthodes multi‐pas
   - **Adams–Bashforth 2** (explicite) :
       y^{n+1} = y^n + (h/2)·(3·f_n − f_{n−1})
   - **Adams–Moulton 2** (implicite) :
       y^{n+1} = y^n + (h/2)·(f_{n+1} + f_n)

4. Propriétés
   - Ordre, consistance, stabilité, convergence (Lax–Richtmyer).

CHAPITRE 5 – Méthodes numériques pour EDP
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**Principales équations :**
1. **Chaleur 1D (parabolique)**  
   ∂θ/∂t = K · ∂2θ/∂x2  
   – Conditions aux limites Dirichlet, Neumann, Robin.

2. **Poisson / Laplace (elliptique)**  
   ∂2φ/∂x2 + ∂2φ/∂y2 = f(x,y)   (Poisson)  
   ∂2φ/∂x2 + ∂2φ/∂y2 = 0       (Laplace)

3. **Onde 1D (hyperbolique)**  
   ∂2u/∂t2 = c2 · ∂2u/∂x2

4. **Advection (transport)**  
   ∂u/∂t + v · ∂u/∂x = 0

**Discrétisations spatiales (différences finies) :**
- Dérivée première centrée : (u_{i+1} − u_{i−1})/(2Δx)
- Dérivée seconde centrée : (u_{i+1} − 2u_i + u_{i−1})/Δx2

**Schémas temps‐espace :**

1. **Chaleur FTCS (explicite)**  
   u_i^{n+1} = u_i^n + λ·(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n),  
   λ = K·Δt/Δx2, condition CFL: λ ≤ 1⁄2.

2. **Chaleur BTCS (implicite)**  
   u_i^{n+1} = u_i^n + λ·(u_{i+1}^{n+1} − 2u_i^{n+1} + u_{i−1}^{n+1}),  
   inconditionnellement stable → tridiagonal à résoudre.

3. **Crank–Nicolson (semi‐implicite)**  
   u_i^{n+1} = u_i^n 
       + (λ/2)[(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n)
              + (u_{i+1}^{n+1} − 2u_i^{n+1} + u_{i−1}^{n+1})]

4. **Onde (schéma Leap‐Frog)**  
   u_i^{n+1} = 2u_i^n − u_i^{n−1} + (cΔt/Δx)2·(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n)

5. **Advection (upwind explicite)**  
   u_i^{n+1} = u_i^n − (vΔt/Δx)·(u_i^n − u_{i−1}^n),  CFL: |vΔt/Δx| ≤ 1

**Matrice 2D elliptique** : système creux tridiagonal par lignes.

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# (Le code d'implémentation EDP serait similaire aux fonctions FTCS, BTCS, etc., vues plus haut.)

def euler_explicit(f, t_n, y_n, h):
    return y_n + h * f(t_n, y_n)

def heun(f, t_n, y_n, h):
    k1 = f(t_n, y_n)
    y_euler = y_n + h * k1
    k2 = f(t_n + h, y_euler)
    return y_n + 0.5*h*(k1 + k2)

def midpoint(f, t_n, y_n, h):
    k1 = f(t_n, y_n)
    k2 = f(t_n + 0.5*h, y_n + 0.5*h*k1)
    return y_n + h * k2

# ... (reste des fonctions EDO)

if __name__ == "__main__":
    # Exemple rapide pour EDO
    import math
    def f_ex(t, y): return -y
    y, t, h = 1.0, 0.0, 0.1
    print("Heun:", heun(f_ex, t, y, h))