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Équation différentielle linéaire d'ordre 1
Soit 
I
 un intervalle de 
R
 et 
a
,
b
 deux fonctions continues définies sur 
I
 et à valeurs dans 
R
 ou 
C
. Une équation 
y′+a(x)y=b(x)
s'appelle une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Résoudre une telle 
équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables 
y
 définies sur 
I
 à valeurs dans 
R
 ou 
C
vérifiant, pour tout 
x∈I,y′(x)+a(x)y(x)=b(x)
.

Dans la suite, on supposera toujours que 
a
,
b
 sont continues sur 
I
. 

L'équation homogène associée est l'équation 
y′+a(x)y=0
.

Proposition (structure de l'ensemble des solutions) : Soit 
y
P
 une solution de 
y′+a(x)y=b(x)
, appelée solution particulière de l'équation. Alors toute solution 
y
 s'écrit 
yP+z, 
où 
z
 est une solution de l'équation homogène. Réciproquement, toute fonction 
 *s'écrivant 
yP+z
, où 
z
 est une solution de l'équation homogène, est solution de l'équation 
 *différentielle.
La proposition précédente nous dit que pour résoudre l'équation différentielle
générale, il suffit de trouver une solution particulière et de résoudre 
l'équation homogène. Concernant la résolution de l'équation homogène, on a le 
résultat suivant : 

Théorème : Soit 
A
 une primitive de la fonction 
a
. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions 
x
↦λe−A(x), où 
λ
 est une constante réelle ou complexe.
Démonstration en vidéo!
On peut toujours trouver une solution particulière, et on a plus précisément le 
théorème suivant : 

Théorème : Pour tout 
x0∈I
 et tout 
y0∈K
, il existe une unique solution à l'équation différentielle 
y′+a(x)y=b(x)
 vérifiant 
y(x0)=y0
.
Démonstration en vidéo!
Le système
{y′+a(x)y=by(x0)=y0
s'appelle problème de Cauchy de condition initiale 
y(t0)=y0.

Pour rechercher une solution particulière, on utilise souvent la méthode de
variation de la constante : on cherche une solution sous la forme
λ(x)e−A(x)
 où 
λ:I→R
 est une fonction dérivable et on regarde quelle condition doit vérifier 
λ
 pour que cette fonction soit une solution de l'équation différentielle.

Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients 
*constants une équation de la forme 
y′′+ay′+by=f
 où 
a
,
b
sont des réels ou des complexes et 
f
 est une fonction continue sur un intervalle 
I
. Résoudre cette équation, c'est déterminer toutes les fonctions 
y
 définies sur 
I
 deux fois dérivables et vérifiant, pour tout 
x∈I,y′′(x)+ay′(x)+by(x)=f(x)
.

L'équation homogène associée est l'équation 
y′′+ay′+by=0
.

Théorème : Pour tout 
x0∈I
 et tout 
y0,y1∈K
, il existe une unique solution à l'équation différentielle 
y′′+ay′+by=f
vérifiant 
y(x0)=y0
 et 
y′(x0)=y1
.
Proposition (structure de l'ensemble des solutions) : Soit 
yP
 une solution de 
y′′+ay′+by=f
, appelée solution particulière de l'équation. Alors toute solution 
y
 s'écrit 
yP+z
, où 
z
 est une solution de l'équation homogène. Réciproquement, toute fonction 
 s'écrivant 
yP+z
, où 
z
 est une solution de l'équation homogène, est solution de l'équation
 différentielle.
Résolution de l'équation homogène, cas complexe : Soit 
r2+ar+b=0
 l'équation caractéristique associée.

si l'équation caractéristique admet deux racines 
r
1
 et 
r
2
, alors les solutions de l'équation homogène 
y′′+ay′+by=0
 sont les fonctions
x
↦
λer1x+μer2x
 avec 
λ
,
μ
∈
C
.
si l'équation caractéristique admet une racine double 
r
, alors les solutions de l'équation homogène 
y′′+ay′+by=0
 sont les fonctions
x
↦
(λx+μ)erx
 avec 
λ
,
μ
∈
C
.
Résolution de l'équation homogène, cas réel :Soit 
r2+ar+b=0
 l'équation caractéristique associée.

si l'équation caractéristique admet deux racines réelles 
r
1
 et 
r
2
, alors les solutions de l'équation homogène 
y′′+ay′+by=0
sont les fonctions
x
↦
λer1x+μer2x
 avec 
λ
,
μ
∈
R
.
si l'équation caractéristique admet une racine double 
r
, alors les solutions de l'équation homogène 
y′′+ay′+by=0
 sont les fonctions
x
↦
(λx+μ)erx
 avec 
λ
,
μ
∈
R
.
si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, 
α±iβ
, alors les solutions de l'équation homogène sont les fonctions
x
↦
λeαxcos(βx)+μeαxsin(βx)
.