**Cours sur les Primitives et les Intégrales** **1. Les Primitives :** Une primitive d'une fonction \( f(x) \) est une fonction \( F(x) \) dont la dérivée est égale à la fonction \( f(x) \). En d'autres termes, si \( F'(x) = f(x) \), alors \( F(x) \) est une primitive de \( f(x) \). **Exemple :** Si \( f(x) = 2x \), alors une primitive de \( f(x) \) est \( F(x) = x^2 + C \), où \( C \) est une constante arbitraire. Donc \( \int 2x \, dx = x^2 + C \). **2. L'Intégrale Définie :** L'intégrale définie d'une fonction \( f(x) \) entre deux limites \( a \) et \( b \) est la somme des aires des rectangles infiniment petits sous la courbe de \( f(x) \) entre \( a \) et \( b \). **Exemple :** L'intégrale définie de \( f(x) = 2x \) de 0 à 1 est \( \int_{0}^{1} 2x \, dx = x^2 \Big|_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1 \). **3. Calcul d'Intégrales Numériques :** **Méthode des Rectangles :** - Divise l'intervalle d'intégration en \( n \) sous-intervalles de largeur \( \Delta x \). - Évalue la fonction \( f(x) \) à gauche ou à droite de chaque sous-intervalle. - Multiplie le résultat par la largeur du sous-intervalle \( \Delta x \). **Exemple :** Pour \( f(x) = x^2 \) de 0 à 1 avec \( n = 4 \), \( \Delta x = \frac{1-0}{4} = 0.25 \). - À gauche : \( f(0) = 0 \), \( f(0.25) = 0.0625 \), \( f(0.5) = 0.25 \), \( f(0.75) = 0.5625 \). - Aire des rectangles : \( 0 \times 0.25 + 0.0625 \times 0.25 + 0.25 \times 0.25 + 0.5625 \times 0.25 = 0.21875 \). **Méthode du Point Milieu :** - Divise l'intervalle d'intégration en \( n \) sous-intervalles de largeur \( \Delta x \). - Évalue la fonction \( f(x) \) au point milieu de chaque sous-intervalle. - Multiplie le résultat par la largeur du sous-intervalle \( \Delta x \). **Méthode des Trapèzes :** - Divise l'intervalle d'intégration en \( n \) sous-intervalles de largeur \( \Delta x \). - Évalue la fonction \( f(x) \) aux extrémités de chaque sous-intervalle. - Relie ces points pour former des trapèzes. - Calcule la somme des aires de ces trapèzes. En pratiquant ces méthodes sur des fonctions différentes, vous pouvez mieux comprendre les intégrales et leurs approximations numériques.