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TD : équations des droites
Ce TD traite des équations dans un plan. A la fin de ce TD, vous devez savoir :
— Reconnaitre une équation cartésienne et polaire d’une droite.
— Trouver les vecteurs directeurs et normaux à une droite.
1.1 Equation cartesienne d’une droite
Proposition 1
— Toute droite D du plan a au moins une équation cartésienne du type :
ax + by + c = 0,
avec a, b, c ∈ R et (a, b) ̸= (0, 0).
— Deux telles équations représentent deux droites confondues si, et seulement si,
elles sont proportionnelles.
— Le vecteur −→n =

a
b
!
est un vecteur normal à D.
— Le vecteur
−→d =

−b
a
!
est un vecteur directeur de D.
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Géométrie 2D
2023/2024
Guillaume CHIVOT

Méthode :
Soit une droite D définie par deux points A(1, 2) et B(3, 5). Nous allons chercher l’équation cartésienne de la droite D, ainsi qu’un vecteur
normal et un vecteur directeur.
Le vecteur
−→AB =

3 − 1
5 − 2
!
=

2
3
!
est donc un vecteur directeur de la droite
D. Soit M un point quelconque de la droite, −−→AM et
−→AB sont donc des
vecteurs colinéaire. Cela implique que
Det(
−−→AM, −→AB) = 0
c’est à dire





x − 1 2
y − 2 3





= 0
(x − 1)3 − (y − 2)2 = 3x − 2y + 1 = 0
L’équation cartésienne 3x − 2y + 1 = 0 est donc une équation de la droite D.
On peut en déduire le vecteur normal à la droite −→n =

3
−2
!
1.2 Equation polaire d’une droite
Proposition 2
Soit c un réel non nul. et soient a et b des réels non nul simultanément. Alors,
l’équation polaire
r =
c
a cos θ + b sin θ
est celle d’une droite ne passant pas par l’origine.
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Ô Démonstration :
On pose x = r cos θet y = r sin θ. En notant l’équation cartesienne d’une droite
ax + by + c
′ = 0, on obtient :
ax + by + c
′ = 0
ar cos θ + br sin θ + c
′ = 0
r(a cos θ + b sin θ) = −c
′
En prenant −c
′ = c, on obtient
r =
c
a cos θ + b sin θ
Exercice 1 :
Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, −→i , −→j ), on considère les deux droites
(D1) : 3x + 2y − 6 = 0 et (D2) : y =
2
3
x + 2.
1. Faire une figure !
2. Déterminer un vecteur normal puis un vecteur directeur de (D1) et (D2). En
déduire que les deux droites sont perpendiculaires.
3. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point d’intersection I de (D1) et
(D2).
4. Trouver les équations polaires de (D1) et (D2).
Solution:
1. Astuce, poser x = 0 et chercher y, puis poser y = 0 et chercher x.
2. L’équation de (D1) donne le vecteur normal −→n1 =

3
2
!
. Un vecteur directeur
est donc
−→d1 =

−2
3
!
. Pour (D2) : 2x − 3y + 6 = 0 donne le vecteur normal
−→n2 =

2
−3
!
. Un vecteur directeur est donc
−→d2 =

3
2
!
. Puisque
−→d1 .
−→d2 = 0, les
deux droite sont perpendiculaires.
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3. Les coordonnées x et y de I sont données par
(
3x + 2y = 6
2x − 3y = −6
On trouve x =
6
13 et y =
30
13 .
4. On remplace x par r cos θ et y par r sin θ.
Pour (D1) : 3r cos θ + 2r sin θ = 6 donc r =
6
3 cos θ+2 sin θ
Pour (D2) : 2r cos θ − 3r sin θ = −6 donc r =
−6
2 cos θ−3 sin θ
Exercice 2 :
Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, −→i , −→j ), on considère la droite (AB)
avec A(1, 1) et B(−1, −2).
1. Déterminer l’équation cartésienne de (AB)
2. Soit (D) la droite d’équation polaire r =
2
3 sin θ+cos θ
.
(a) Déterminer l’équation cartésienne de (D), en déduire un vecteur directeur et
un vecteur normal.
(b) Représenter les droite (AB) et (D) sur une figure.
(c) Calculer l’angle formé par les droites (AB) et (D).
3. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (∆) parallèle à (AB) et passant
par O.
4. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (D′
) perpendiculaire à (D) et passant par A.
Solution:
1. Soit M(x, y) un point de la droite (AB), alors
Det(
−−→AM, −→AB) = 0
=





x − 1 −2
y − 1 −3





= 3x − 2y − 1
2. (a) L’équation polaire de (D) s’écrit 3r sin θ + r cos θ = 2. Donc l’équation
cartésienne est x + 3y − 2 = 0.
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(b)
(c) Un vecteur directeur de (AB) est le vecteur −→AB =

−2
−3
!
lui même. Un
vecteur directeur de (D) est −→d =

−3
1
!
(que l’on retrouve grace à son
vecteur normal). On a donc cos θ =
−→AB.−→d
∥
−→AB∥∥−→d ∥
= √
3
13√
10 = √
3
130
3. On écrit M(x, y) un point de la droite (∆), alors
Det(
−−→OM, −→AB) = 0
=





x −2
y −3





= 3x − 2y
4. On écrit M(x, y) un point de la droite (D′
), alors
−−→AM.−→d = 0
=

x − 1
y − 1
!
.

−3
1
!
= 3x − y − 2
Exercice 3 :
Soit A le point de coordonnées (2, 1) et (D) la droite d’équation cartésienne x+y−2 = 0
dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, −→i , −→j )
1. Calculer les coordonnées du point H, projection orthogonale de A sur (D) et de
A′
, symétrique de A par rapport à la droite (D).
Solution: Soit −→n =

1
1
!
un vecteur normal à la droite (D). Le vecteur
−−→AH est
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donc colinéaire à −→n . On a donc :
Det(
−−→AH, −→n ) = 0
=





x − 2 1
y − 1 1





= x − y − 1
En additionnant x + y − 2 = 0 et x − y − 1 = 0, on obtient x =
3
2
et y =
1
2
.
Exercice 4 :
Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, −→i , −→j ), on considère les droites (D)
et (D′
) d’équations y = ax + b et y
′ = a
′x + b. Démontrer que (D) et (D′
) sont
perpendiculaires si et seulement si aa′ = −1.
Solution: Il suffit de prendre les deux vecteur normaux et de faire leur produit
scalaire.