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Created on December 21, 2023
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plan muni d'un repere orthonormé direct
(u;v)=pi/2[2pi]

y= axe des imaginaire
x= axe des reels
a chaque complexe z=x+iy avec x,y reels on associe le pts M de coordonnées (x;y)

M = imagine de  z on la note M(z)
reciproquement, tte  pts M(x;y) est l'image d'un seul nbr complexe z=x+iy
on que z est l'affixe de M et on note zM

AFFIXE D'UN VECTEUR:
  a tout vecteur w (a) on lui associe le nbr complexe z=a+ib
                   (b)
 on dit que z est l'affice de w et on note zw


PROPORIete:
  w(zw) et w'(zw')|  A(za)B(zb)
  w+w'(zw+zw')    | AB(zb-za)
  kw(kzw)         |  I milieu de [AB]
  w=w' --> zw=zw' |  zx= za+zb/2
  
EXEMPLE: determiner que ABCD paralelo donc que vecteur AB= vecteur DC
AB(zb_za)DC(zb-za) puis resoudre

MODULE D'UN COMPLEXE:
  |z|= racine x^2+y^2
  
si z=x alors |z|= valeur abso de x

|z|^2 = zzbarre (z=x+iy)(zbarre= x-iy)donc = x^2+y^2

dans plan si M est pts d'affixe z alors OM=|z|

si A et B sont les pts d'affixe zA et zB
AB= |zb-za|=|za-zb|

phrase pour ensemble des pts M d'affixe z :
  l'enssemble des pts M est le cercle de centre ... et de rayon...
  exemple: |z-2-i|=4 --> |z-za|=4--> AM= 4 
  l'ensemnle des pts M est le cercle de centre A et de rayon 4
  
  exemple pour mediatrice:
  |z-2-i|= |z-4+i| --> |z-(2+i)|=|z-(4-i)|
  |z-za|=|z-zb|
  AM=BM
  l'ensemble des pts est la mediatrice du segment [AB]
  
  
  soit z complexe : |-z|=z // |zbarre|=z
  
  
propriété:
|zz'|= |z||z'|
pour n app N : |z^n|=|z|^n
si z diff 0 : |1/z|=1/|z|
si z diff 0 : |z'/z|= |z'|/|z|

inegalité triangulaire: z et z' complexe
|z+z'|<|z|+|z'|


argument d'un nombre complexe s'ecris arg(z)
c'est une mesure en radian :
  arg(z)=alpha [2pi]
  alpha = cos(teta) et sin (teta) sur cercle trigo
  cos(teta)= parti reel/|z|
  sin(teta)= partie imaginaire / |z|
  
  arg(zbarre)=arg(z)[2pi]
  arg(-z)= arg(z)+pi[2pi]
  
forme trigonometrique:
  z=|z|(cos(teta)+isin(teta))


carollaire: si un nbr complexe non nul z s'ecris z=r(costeta+isinteta)
avec r>0 alors r=|z|

pour tout x app a R
cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=sin(x)
cos^2(x)+ sin^2(x)=1
cos(x+2pi)= cos(x)
sin(x+2pi)=cos(x)

cos(a-b)= cos a . cos b + sin a . sin b
cos (a+b)=cosa . cos b - sin a . sin b


pripriete des arg:
   arg (zz')= arg(z)+ arg(z')[2pi]
   arg 1/z= -arg(z)[2pi]
   arg(z/z')= arg(z)_arg(z')[2pi]
   arg(z^n)= narg(z)[2pi]
   
   

FORME EXPONENTIELLE 
pour tout reel teta on pose : 
  e^iteta= cos teta+ isin teta

pour tout nbr complexe non nul d'arg teta

z=|z|e^iteta