ln.py

Created on February 13, 2024
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La fonction exponentielle est la fonction exp définie sur R par :
exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1

 La fonction exponentielle est continue, strictement positive et strictement
 croissante sur R
 
 pour x -> -infini
exp(x) = 0

pour x→+inf
exp(x) = +inf

 L’image de 1 par la fonction exp est e ; e est appelé nombre d’Euler ou 
 constante de Neper.
On pose alors exp(x) = e^x

e^x * e^y = e^x+y
e^-x=1/e^x
e^x-y=e^x/e^y
(e^x)^n=e^xn

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l’unique solution
de l’équation e^x = a
Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui, à tout
réel x > 0, associe le réel ln(x).


 Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on a l’équivalence : 
   ln(a) = b ⇔ a = e^b
→ ln(1) = 0 car e^0 = 1
→ ln(e) = 1 car e^1 = e.



POUR TOUT X>0 : e^ln(x)=x
POUR TOUT X : ln(e^x)=x

 Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln 
 et exp sont symétriques par rapport
à la droite y = x.


La fonction x → ln x est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Par conséquent, pour tous réels x > 0 et a > 0 :
ln x = ln a ⇔ x = a
ln x < ln a ⇔ x < a
ln x > ln a ⇔ x > a



Pour tous réels a et x > 0 :
ln x = a ⇔ x = e^a
ln x < a ⇔ x < e^a
ln x > a ⇔ x > e^a


ln(a*b)= ln(a)+ln(b)

ln(1/a)=-ln(a)
ln(a/b)=ln(a)-ln(b)
ln(a^n)=n*ln(a)
ln(racine a)=1/2 ln(a)

ln'(x)= 1/x


pour x--> O+
lim ln(x)=- inf


pour x--> +inf
lim ln(x)= + inf


pour x-->=inf
lim(ln(x)/x)=O

pour x--> 0+
lim xln(x)=0


pour x-->0
lim ln(x+1)/x=1


pour x-->+inf
lim ln(x)/x^n=0


pour x-->0+
lim x^n ln(x)=0


(ln(u))'=u'/u