Pour la suite (Un) Défini par Un =-10n^2 - 5n: a. Calculons u1: U1 =-10×1^2-5×1=-10x1 - 5x1 =-15. B. Exprimons Un+1 en fonction de n: Un +1 = - 10(n + 1)^2 - 5(n + 1) = (n+1)^2 = n^2+2n+1 un+1=-10(n^2+2n+1)-5(n+1) un+1= -10n^2 -20n- 10- 5n -5 un+1= -10n^2 -25n- 15 c. Déterminons la limite de la suite (Un): La suite (Un) = -10n^2 - 5n tend vers -infini lorsque ntend vers + oo. Pour la suite (Un) Défini par Un = 4n^2 + 1000: c. Déterminer la limite de la suite (Un) La suite un = -10n2 - 5n est un polynôme de degré 2. La limite quand ntend vers l'infini dépend du terme dominant, qui est -10n'2: lim un = -00 n->00 Voiture -10n^2 entraîner une diminution infinie. 2) Suite Un La suite (Un) est défini pour tout entier positif npar : Un = 4n2 + 1000 a. La suite Un est une suite... La suite est explicite parce qu'elle est définie directement à partir d'une expression en n, donc pas par récurrence. b. Calculer le terme initial de la suite Verser n. = 1 (puisque n est positif) calculons.:. V1 = 4 x 1^2+ 1000 V1 = 4 + 1000 = 1004 Donc, v1 = 1004. c. Afficher les cinq premières valeurs de la suite (Un) Calculons pour n = 2, 3, 4, 5: Verser n = 2: Verser n = 3: Verser n = 4: Verser n = 5: V2 = 4 x 2^2 + 1000 = 16 + 1000 = 1016 v3 = 4 x 3^2 + 1000 = 36 + 1000 = 1036 v4 = 4 x 4^2 + 1000 = 64 + 1000 = 1064 V5 = 4 x 5^2 + 1000 = 100 + 1000 = 1100 d. Conjecturer le sens de variation de la suite (Un) Les valeurs 1004, 1016, 1036, 1064, 1100montrer une augmentation. Sur conjecture donc que vn est augmenté e. Démontrer que la suite (vn) est augmenté Pour montrer que vn est croissante, vérifions que vn+1 ≥ vn: Calculons vn+1: Vn +1 = 4(n + 1)2 + 1000 = 4(n2 + 2n + 1) + 1000 = 4n2 + 8n + 4 + 1000 Calculons Un+1 - Un• Un+1 - Un = (4n'2 + 8n + 4 + 1000) - (4n2 + 1000) = 8n + 4 Comme 8n + 4 > 0pour tout n ≥ 0, Un est augmenté. f_ Déterminer la limite_de la suite (vm) Verser Un = 4n2 + 1000, le terme 4n2 dominer. Quand n → ∞0: lim Un = 00 n->00 3) Suite Wn La suite (wn) est défini pour tout entier naturel n par : Un/vn -10n2 - 5n/ 4n2 + 1000 un. Expliquer pourquoi on ne peut pas déterminer directement la limite de wn Les polynômes -10n2 - 5net 4n2 + 1000sont tous deux de degré 2. Pour déterminer la limite, il faut simplifier en divisant par n2 b. Montrer que Wn = -10-5/n//4+1000/n2 Divisions chaque trimestre de - 10n2- 5n/4n2 +1000 par n2: Wn -10 - 5/n// 4 + 1000/n2 Cela montre pourquoi on manipule ainsi les termes : pour séparer les facteurs de n. c. En déduire la limite de la suite Wn Lorsque n → 00, 5/n et 1000/n2 tend vers 0 : Lim wn= -10-0/4+0 = -10/4= -2,5 N->oo