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Created on November 20, 2024
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Pour résoudre cet exercice, suivons les étapes une par une :

1) Justification de Uo = 6

Au départ, la population est de 6000 insectes, exprimés en milliers. Donc, Uo = 6.

2) Calcul de u1

Chaque année, 25% des insectes disparaissent, donc il en reste 75%. De plus, 3000 insectes (soit 3 en milliers) sont ajoutés.

U1 = 0,75 × U0 + 3 = 0,75 x 6 + 3=4,5 + 3 = 7,5

La population d'insectes à l'année 1 est donc 7500.

3) Montrer que un +1 = 0,75un + 3

Supposons que la relation soit valable pour un. Par le même principe :

Un +1 = 0,75 × Un + 3



4) Analyse graphique

a) Tracer la droite D'équation y = x

Cette droite est la bissectrice de l'angle formé par les axes.

b) Représenter les termes uo, U1, U2, Uз En calculant successivement:

U2 = 0,75 × 7,5 + 3 = 5,625 + 3 = 8,625

Uз = 0,75 × 8,625 + 3 = 6,46875 + 3 = 9,46875

c) Conjecture sur le sens de variation

La suite semble croissante, car chaque année le nombre augmente. un+1>un

d) Conjecture sur la limite de la suite (un)

La population semble stabilisée autour d'un point fixe.

5) Résoudre l'équation l = 0,75l+3

l-0,75l‎ = 3

0,25l=3

l=3/0,25=12





6) Suite (Un)

a) Justifier que Uo = -6

U0= U0- l = 6 - 12 = -6

b) Expression de  un en  fonction de n

La suite géométrique est de raison q = 0,75.

Un = uo x q^n = -6 x (0,75)^n

c) Expression de unen fonction de n

Un = Un + l = -6 x (0,75)^n + 12

d) Limite de la suite (Un)

Quand n → ∞. (0.75)^n ->0. donc limn n->oo Un = 0.



Limité de la suite (un) 

Lim un =lim (vn+l) 0+12=12

n->oo

La population se stabilise autour de 12000 insectes à long terme