1. Dérivation de g(x) = (x^3 -1) (3x^2 + 1) Pour dériver g(x), nous appliquons la règle du produit. Soit u(x) = x^3 -1 et v(x) = 3x^2 + 1. La dérivée de g(x) est donnée par : g’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) Calculons u’(x) et v’(x) : • u'(х) = d/dx (x^3 - 1) = 3x^2 • v'(x) = d/dx (3x^2 + 1) = 6x Substituons ces dérivées dans la formule : 9’(x)=(3x^2)(3x^2+1)+(x^3-1)(6x) Sans développer, nous avons : g’(x)=3x^2(3x^2+1)+6x(x^3-1) 2. Analyse graphique et asymptotes de la fonction f définie sur R\{-2, 2} a. Limites de f: • En +00 et -00 : Les limites semblent tendre vers une asymptote horizontale. En observant graphiquement, il faudrait estimer la valeur vers laquelle f(x) tend. • En x → -2^- et x → -2^+: il semble que f(x) tend vers +00 ou -00, indiquant une asymptote verticale en x = - 2. • En x → -2^- et x→ 2^+: De même, il semble que f(x) tende vers +00 ou - 00, indiquant une asymptote verticale en x = 2. b. Asymptotes éventuelles : • Asymptotes verticales: Les asymptotes verticales sont aux points où la fonction n’est pas définie. D’après l’énoncé, cela se produit en x = -2 et x = 2. • Asymptote horizontale: Il faudrait estimer la valeur limite de lim x->+00 f(x) d’après le graphique pour déterminer s’il y a une asymptote horizontale , et son équation. tableau: 1. Fonction f(x)=(7-2e^x) • Limite en +oo: lim f(x)=lim(7-2e^x) x→+00 x→+00 Comme e^x → +oo quand x→+00,il s’ensuit que -2e^x →-00, donc f(x)→-00. Réponse correcte: -00= colonne D 2. Fonction g(x)=x^2+7x-2 • Limite en +oo: lim g(x) =lim(x^2+7x-2) x->+00 x→+00 Le terme dominant est x^2 donc g(x)→+00. Réponse correcte :+00=colonne C 3. Fonction h (x) = 3x-7/x • Limite en 0: h(x) =3х-7/x =3- tt seul 7/x lim h(x)=lim (3 -7/x) x→0 x→0 Quand x→0^+, 7/x ->+oo donc h(x) →-00. Réponse correcte:-oo=colonne D 4. Fonction g a. Continuité de g sur )0; +00( La question demande si la fonction g est continue sur l’intervalle )0; +00[ D’après le graphique, la fonction ne semble pas avoir de discontinuités visibles sur cet intervalle. Donc, on peut dire que c’est Vrai. b. Intervalles de continuité de g Sans informations supplémentaires, on considère que g est continue sur tout l’intervalle )0; +00(