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Created on January 12, 2025
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Exercice 2
1. Détermination du bénefice
À partir du graphique, on observe que l’entreprise commence à 
réaliser un bénéfice lorsque la courbe de la recette dépasse 
celle du coût de production. Cela semble se produire
autour de x=3
centaines de litres, soit 300 litres.
2. Fonction de bénéfice
f(x) = 25х -150e^-0.5x+1
a. Calcul de f(0) et f(8)
Calculons f(0) :
f (0) = 25×0-150e^-0.5x0+1 = - Valeur numérique approximative : 
  f(0) =environ -150 × 2.718 = -407.7
 Calculons f(8) :
f(8) =25×8-150e^-0.5x8+1 = 2O0
Valeur numérique approximative :
f(8) =envrion 200 - 150 × 0.0498 = 192

b. Justification de f’(x)>0 et tableau de variations
Dérivée :
f’(x)=25+75e^-0.5x+1
Puisque e^-0.5x+1>0 pour tout x appartient (signe euros)[0,8]
il en résulte que f’(x)>25, donc f’(x)>0.
Tableau de variations :
x     0       ->8
f’(x) +       + +
f(x) -407.70 /> 192.53

c. Existence d’une unique solution alpha pour
f(x) = 0
La fonction f(x) étant strictement croissante sur [0,8] elle ne peut 
s’annuler qu’une seule fois. Puisque f(0) < 0 et f(8)>0, par le théorème
des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution
alpha telle que f(alpha) = 0.
d. Encadrement de alpha
Pour déterminer un encadrement de alpha 
a l’aide d’une calculatrice avec une amplitude de 0.01 il est souvent utile
d’utiliser une méthode de dichotomie ou une recherche numérique.
En calculant, on trouve que alpha =environ 5.47
L’encadrement est donc:
5.47 < alpha < 5.48