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Exo croiso 1 : Proba condi, proba, dénombremt
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.Soit \Omega un ensemble fini `a N ́
eléments. On désigne par P(\Omega)
l’ensemble de tous les sous-ensembles
de \Omega.
Montrer que card(P(\Omega)) = 2N.

Corro
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L’ensemble de P(\Omega) possède
comme éléments tous les 
sous-ensembles de \Omega formé 
de :
  
0 élément ==> Il y a C^0_N = 1

1 élément ==> C^1_N = N

2 éléments ==> C^2_N = N(N + 1)/2

3 éléments ==> C^3_N = N(N - 1)(N - 2)/3!

...
...

N éléments ==> C^N_N = 1

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Alors,

card(P(Omega)) = \sum^N_{i = 1} C^i_N

= 2^N


.Trouver toutes les compositions
possibles d’une famille de 4 
enfants qui comprend deux filles
et deux garçons.

corro
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Il y a C^2_4 = 6 possibilités :
  
{(ffgg),(fgfg),(fggf),(ggff),
(gfgf),(gffg)}


.On considère \Omega l’ensemble
des familles ayant 3 enfants et
on d ́esigne par E1 , E2 , E3 , 
E4 les  ́ev`enements suivants :
  
E1 = {la f amille a au plus deux
f illes}

E2 = {la f amille n′a pas de fille}

E3 = {la f amille a une fille}

E4 = {la f amille a deux filles}

Montrer que E2 , E3 , E4 foment
une partition de E1.

corro
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On a :
E1 = { (ffg),(fgf),(fgg),(gff),
(gfg),(ggf),(ggg)}

E2 = {(ggg)}

E3 = {(fgg),(gfg),(ggf)}

E4 = {(ffg),(fgf),(gff)}


.Lorsque Nicolas joue aux échcs
contre Louis, il gagne 5 fois 
plus souvent que ce dernier.
Quelle est la probabilité que
Nicolas gagne une partie ?

Corro
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Posons N = {Nicolas gagne} et 
L = {Louis gagne}. On cherche
alors à calculer P(N) sachant 
que P(N) = 5 P(L).
Or, par dfinition de la probabilité
totale, on a P(N) + P(L) = 1. 
donc , 6 P(L) = 1 soit 

P(L) = 1/6, on en déduit : 
  
P(N) = 1 - 1/6 = 5/6


.On lance un dé parfait deux 
fois. Calculer la probabilité
que la somme des points obtenus
soient supérieure ou égale à 4 
et que le premier point soit 
plus grand ou égal au deuxième
point.

Corro
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Notons A = {(i, j) : i + j ≥ 4
et i ≥ j, 1 ≤ i, j ≤ 6}.

On cherche P(A).

Le dé étant parfait on a donc :

P(A) = card(A)/36

Pour déterminer le cardinal de
A on a :
  
A = {(i, j) : i ≥ 4 − j et
i ≥ j, 1 ≤ i, j ≤ 6}

= {(i, j) : max(4 − j, j) ≤ i ≤ 6,
1 ≤ j ≤ 6}

On peut donc écrire A sous la
forme A = \bigcup^6_{j = 1} M_j

avec M_j = {i : max(4 - j, j)  ≤ i ≤ 6}

Du fait que M1, . . . M6 
sont disjoints on a : 

card(A) = \sum^6_{j=1} card(M_j)

Or, card(M_j) = 6 - max(4-j, j)+1ù

En tenant compte de :
  
max(4-j, j) = {4 - j si j = 1

              { j si j = 2,...,6
              
On obtient :
  
card(A) = \sum^6_{j=1} (7-max(4-j,j))

= (7-(4-1))+\sum^6_{j=2} (7-j) = 19

P(A) = 19/36


.Une urne contient 7 boules
blanches et 5 boules rouges. On
extrait 2 boules sans remise.
Quelle est la probabilité d’obtenir
deux boules blanches ? Que la 
deuxième soit blanche ?

Corro
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Notons : 
  
A = {première boule blanche} 

et B = {deuxième boule blanche}.

Alors P(2boules blanches)

= P(A \cap B)

= P(A)*P(B|A)

= 7/12 *(7-1)/(12-1)

P(2e boule blanche)

= P(B)

= P(B cap (A cup A^c)) 

= P((B cap A) cup (B cap A^c))

= P(B cap A) + P(B cap A^c)

= P(A) P(B|A) + P(A^c) P(B|Ac)

= 7/12 (7-1)/(12-1)+5/12(7-0)/(12-1)



.On lance un dé dont les faces
sont num ́erot ́ees de 1 à 6. Les
faces 3 et 6 sont blanches. Les
faces 1 , 2 et 4 sont rouges. 
La face 5 est bleue. On suppose
que le dé est truqu ́e et on a 
les probabilit ́es des événements
élémentaires suivantes : 
  
P({1}) = 0, 1 ; 

P({2}) = P({3}) = P({4}) = 0, 2
;

P({5}) = P({6}) = 0, 15

Quelle est la probabilité d’obtenir
une face avec un numéro pair 
sachant que la face est blanche ?

Corro
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Notons A = {face blanche } et
B = { numéro pair }. On cherche
la probabilité P(B|A).

On a P(B) = P({2}) + P({4}) + P({6})

P(B) = 0,55

P(A) = P({3}) + P({6}) = 0,35

De plus 

P(A cap B) = P({6}) = 0,15

D'où P(B|A) = 0,15/0,35 = 3/7


.Deux familles ont respectivement
3 et 5 enfants. Il y a deux 
garçons dans chacune des familles. 
Nous choisissons un enfant au 
hasard de la fa ̧con suivante :
un dé est lancé et l’enfant est
sélectionné dans la première 
famille si le résultat est inférieur
ou égal à quatre et dans la 
deuxième sinon. Une fois la famille
déterminée, les enfants de cette
famille ont tous la mˆeme chance 
d’etre sélectionné. Quelle est 
la probabilité que l’enfant choisi 
soit un garçon ?

Notons :
  
E = {l’enfant choisi est un garçon}

F1 = {l’enfant provient de la première
famille}

F2 = {l’enfant provient de la 
deuxième famille}

Corro
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P(E) = P(E cap F1) + P(E cap F2) 

= P(E|F1) P(F1) + P(E|F2) P(F2)

= (2/3)(4/6) + (2/5)(2/6)

= 26/45