suite_sens_variation.py

Created on December 03, 2024
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I. méthode pour étudier le sens de variation
d'une suite


a ) à l'aide d'une différence

1. on calcule Un+1-Un.

2. On étudie le signe de la différence et on conclut:
  
  * Si Un+1 - Un > 0 alors Un+1>Un 
    donc la suite (Un) est strictment croissante
  
  * Si Un+1 - Un < 0 alors Un+1<Un 
    donc la suite (Un) est strictment décroissante
    
  * Si Un+1 - Un = 0 alors Un+1=Un 
    donc la suite (Un) est constante. 
    
EXEMPLE /

(Un) est la suite définition sur N par U0 = 1 et pour 
tout n∈N,Un+1=Un -2n. étudier le sens de variation 
de (Un)

1. Vn∈N, Un+1-Un=Un-2n-Un=-2n
2. Or n∈N,d'ou n≥0 donc -2n≤0
Un+1-Un≤0 donc Un+1≤Un donc la suite (Un)
est déroissante. 


B.à l'aide d'un quotient

exemple : (Vn) est la suite définie sur N,
par Vn=0,5^^n.
Etudier le sens de variations de (Vn).

1.n∈N et 0.5 > 0 donc 0.5^^n > 0 ; donc pour tout n∈N
Vn > 0
2.Vn+1 = 0.5^^n+1 d'ou Vn+1/Vn = 0.5^^n+1 / 0.5^^n = 0.5

3. Vn+1 / Vn < 1 d'ou Vn+1 < Vn donc la suite (Vn) est
strictement décroissante. 


C. à l'aide d'une fct 

(tn) est la suite definie sur N par tn = 1-1/n+1

etudier le sens de variations de (tn) 

Vn∈N, tn= f(n) ou f et a fct definie sur [0;+infini[
par f(x)=1- 1/x+1

f est la somme de 2 fcts dérivables sur [0;+infini[, donc
f est dérivable sur [0;+infini[

Vx[0;+infini[, f(x)=-(-v'(x)/(v(x)2)) avec v(x) = x+1
                                           et v'(x)= 1
                   = 1 / (x+1)2
                   
Vx ∈ [0;+infini[, (x+1)2>0 et 1>0 donc f'(x)>0  
f est donc strictement croissante sur [0;+inifini[
on en deduit que la suite (tn) est strictement croissante sur [0;+infini[.



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