recurrenceexo2.py

Created on September 30, 2024
889 Bytes
Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier n >= 1,
on 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2

On note Pn la proposition 
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2
Initialisation : Pour n = 1,
1^3 =1 et 1^2=1 
donc P1 est vraie

Hérédité : Supposons que Pk est vraie 
pour un certain k ∈ N* 
et montrons que Pk + 1 est vraie
Par hypothèse de récurrence,
 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2
donc 
  1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 
= (1 + 2 + ... + k)^2   + (k+1)^3
= (kx(k+1)/2 )^2          + (k+1)^3
= (k+1)^2 x (k^2/4 + (k+1))
= (k+1)^2 x (k^2+4k+4)/4 
= (k+1)^2 x (k+2)^2/4 
= ((k+1)x(k+2)/2)^2 
=(1 + 2 + ... + k+ (k+1))^2
Pk+1 est donc vraie

Conclusion : la proposition Pn est vraie au rang n = 1 
et héréditaire donc, d’après le principe de récurrence, 
pour tout entier n ≥ 1, 
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2