recurrence.py

Created on September 30, 2024
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Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier n >= 1,
on 1×2 +2×3 +...+ n×(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

On note Pn la proposition 
1×2 +2×3 +...+ n×(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

Initialisation : Pour n = 1,
1×2=2 et 1(1+1)(1+2)/3=2 
donc P1 est vraie

Hérédité : Supposons que Pk est vraie 
pour un certain k ∈ N* 
et montrons que Pk + 1 est vraie
Par hypothèse de récurrence, 
1×2 + 2×3 +...+ k×(k+1)=k(k+1)(k+2)/3
donc 
  1×2 + 2×3 +...+ k×(k+1) + (k+1)×(k+2) 
= k(k+1)(k+2)/3           + (k+1)×(k+2) 
= (k+1)(k+2)(k/3 + 1) 
= (k+1)(k+2)(k/3 + 3/3) 
= (k+1)(k+2)((k+1)/3) 
= (k+1)(k+2)(k+3)/3 
Pk+1 est donc vraie

Conclusion : la proposition Pn est vraie au rang n = 1 
et héréditaire donc, d’après le principe de récurrence, 
pour tout entier n ≥ 1, 1×2 + 2×3 + ... + n×(n+1) = n(n+1)(n+2)/3