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Q1.  
Le systeme (ballon) est en chute libre, il n est soumis qu a son poids.
Systeme {balle}
Referentiel terrestre suppose galileen
D apres la deuxieme loi de newton :
          ->             ->
 E(grec) F ext  =  m * a 
 ->     ->
P =  m*a 
   ->     ->
m*g  = m*a 
 ->   ->
g = a
    ->
Or g  = (0 ,  -g) 
 -> 
a =
a_x (t) = 0
a_y (t) =  -g

 Q2. 
 ->     -> 
a = dv / dt
On calcul la primitive 
 -> 
v  = 
v_x(t)= C1
v_y(t)= -g*t + C2

on deduit C1 et C2 
 -> 
v_x(0)= C1 = v_0*cos Alpha
v_y(0)= -g*t + C2 = v_0*sin Alpha

Donc C1 = v_0*cos Alpha 
et C2 = v_0*sin Alpha

d ou 
 -> 
v  = 
v_x(t)= v_0*cos Alpha
v_y(t)= -g*t + v_0*sin Alpha


Q3. Exprimer les coordonnees du vecteur position OM au cours du temps, notees :
 ->          -> 
v  = dOM / dt
On calcul la primitive 
 ->  
OM =
x(t)= v_0*cos Alpha*t + C3
y(t)= -1/2 *g*t**2 + v_0*sin Alpha*t + C4

on deduit les constante C3 et C4 en utilisant
 -> 
OM_o  = 
x(0)= v_0*cos Alpha*0 + C3 = 0
z(0)= -1/2 *g*0**2 + v_0*sin Alpha*0 + C4 = Hm
Donc C3=0 et C4=Hm

 ->  
OM =
x(t)= v_0*cos Alpha*t 
y(t)= -1/2 *g*t**2 + v_0*sin Alpha*t + Hm


Q4. Montrer que l equation de la trajectoire du centre de masse M du ballon 
peut s ecrire :
y(t)= -(g/(2 * v_0**2 * cos**2 Alpha ) ) * x **2 + x* tan Alpha + Hm

x(t)= v_0*cos Alpha*t 
on deduit t en fonction de x
t = x / v_0*cos Alpha

On remplace t par x / v_0*cos Alpha
y(t)= -1/2 *g*( x / v_0*cos Alpha )**2 + v_0*sin Alpha* (x / v_0*cos Alpha) +Hm
y(t)= -1/2 *g*( 1 / v_0**2 * cos**2 Alpha ) * x **2 + tan Alpha * x + Hm
y(t)= -(g/(2 * v_0**2 * cos**2 Alpha ) ) * x **2 + x* tan Alpha + Hm

Q5. 
Un tir est parfait si le ballon passe par le centre C de l arceau du panier
Soit xc=L et yc=Ha  
y(t)= -(g/(2 * v_0**2 * cos**2 Alpha ) ) * x **2 + x* tan Alpha + Hm
on prend y(t)=yc= L  et x(t)=xc=L  et vo=voc
yc= -(g/(2 * v_0c**2 * cos**2 Alpha ) ) * xc **2 + xc* tan Alpha + Hm
Ha= -(g/(2 * v_0c**2 * cos**2 Alpha ) ) * L **2 + L* tan Alpha + Hm
On isole voc
Ha  -  L* tan Alpha  - Hm = -(g/(2 * v_0c**2 * cos**2 Alpha ) ) * L **2 
On multiplie par voc**2  
(Ha  -  L* tan Alpha - Hm)*voc**2  = -(g/(2 *  cos**2 Alpha ) ) * L **2 
voc**2  = -(g/((Ha  -  L* tan Alpha - Hm)*2 *  cos**2 Alpha ) ) * L **2 
voc  = racine (  -(g/((Ha  -  L* tan Alpha - Hm)*2 *  cos**2 Alpha ) ) * L **2 )
voc  = racine ( (g/(( -Ha + L* tan Alpha + Hm)*2 *  cos**2 Alpha ) ) * L **2 )
voc  = racine ( (g*L**2 /(( -Ha + L* tan Alpha + Hm)*2 *  cos**2 Alpha ) ) 
voc  = racine ( (g*L**2 /(2 *  cos**2 Alpha *(L* tan Alpha + Hm -Ha)) ) 

Q6. 
voc  = racine ( (g*L **2/(2 *  cos**2 Alpha *(L* tan Alpha + Hm -Ha)) ) 
voc  = racine ( (9.8*4.6 **2/(2 *  cos**2 (45) *(L* tan 45 + 2,30 - 3,05)) ) 
v0c=7,3 m/s

Q7.

Si le joueur est place à la distance L = 2,0 m, l angle initial à choisir pour 
communiquer au ballon la vitesse initiale minimale v0c = 5,32 m/s, est 
alpha = 55,5 degre.


Q8. 
Plus le lancer se fait vers la verticale, plus la vitesse à donner doit être grande.
Lorsque l angle de tir initial se rapproche de 90°, il n y a pas de vitesse horizontale,
 le ballon n avance pas. Ce qui explique l asymptote car même avec une 
vitesse infinie le ballon n atteindra jamais le panier.

Q9. 
Sachant que l arceau est à une hauteur Ha donc pour ne pas passer au -dessus
 il faut que y soit inferieur à Ha.
y < Ha
Le code pour verifier la condition « le ballon ne passe pas au -dessus 
de l arceau » est :
max(y)< Ha

Q10.  
d_bord(x,y)est la distance entre le centre de masse du ballon et le bord 
de l arceau. 

Pour que le tir soit parfait et que le ballon ne touche pas l arceau, la distance
 d_bord(x,y)doit être plus grande que le rayon du ballon. 


Q11. 

Le site internet specialise dans le basket -ball donne le conseil suivant : 
( privilegier un angle de tir entre 47° et 55° par rapport à l horizontale. 
On preconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale 
de la surface du panier )
D apres la question : ( l angle initial minimal pour realiser un tir parfait au
 lancer -franc est voisin de 45° ). 
Cette valeur est en accord au regard des conseils fournis par le site internet 
cite en debut d exercice.

Q12. 

Lors de la chute d une balle, son energie potentielle de pesanteur Epp=mgz
 diminue car son altitude z diminue. Ainsi, la courbe 2 est celle de l energie
 potentielle de pesanteur.

Lors de la chute d une balle, sa vitesse augmente, son energie cinetique 
Ec=1/2mv2 augmente. De plus, le ballon est lâche, sans vitesse initiale, 
l energie cinetique initiale est donc nulle. 
Ainsi, la courbe 3 est celle de l energie cinetique.

L energie mecanique Em =EC+EPP = constante
La courbe la representant est donc superieure aux deux autres courbes. 
Ainsi, la courbe 1 est celle de l energie mecanique.

Q13. 
Avant le rebond : Em_avant=6,2 J
Apres le rebond : Em_apres=3,6 J

L energie perdue par le ballon est Em_perdue=Em_avant-Em_apres 
Emperdue=6,2-3,6 Emperdue=2,6 J

Ainsi, l energie perdue par le ballon lors du rebond est voisine de 2,5 J.