matric.py

Created on January 31, 2025
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### I. Définitions
1. Matrice : Tableau de nombres réels organisé en n lignes et p colonnes.
2. Types de matrices :
   - Matrice colonne : p = 1
   - Matrice ligne : n = 1
   - Matrice carrée : n = p
   - Matrice nulle : Tous les coefficients sont 0.
3. Égalité de matrices : Deux matrices sont égales si elles ont le même format et les mêmes coefficients.
4. Matrice transposée : Inversion des lignes et colonnes d’une matrice.

Exemple :
Si A = [ [2, 4, -7], [-1, 0, 4] ],
alors sa matrice transposée est A^T = [ [2, -1], [4, 0], [-7, 4] ].

### II. Addition et soustraction de matrices
1. Définition : Additionner deux matrices de même format revient à additionner leurs coefficients position par position.
2. Propriétés :
   - Commutativité : A + B = B + A
   - Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)
   - Élément neutre : A + 0 = A

Exemple :
[[2, 4, -7], [-1, 0, 4]] + [[-4, 0, -9], [2, -3, 13]] = [[-2, 4, -16], [1, -3, 17]]

### III. Multiplication d'une matrice par un réel
1. Définition : On multiplie chaque coefficient de la matrice par le réel.
2. Propriétés :
   - 0A = 0 et 1A = A
   - (α + β)A = αA + βA
   - α(A + B) = αA + αB
3. Opposée d’une matrice : -A = (-1)A.

Exemple :
Si A = [[2, 0], [-4, 6]], alors -2A = [[-4, 0], [8, -12]].

### IV. Multiplication de deux matrices
1. Définition : Produit d’une matrice A de format (n, p) par une matrice B de format (p, q).
2. Formule :
   (AB)_{ij} = somme( a_{ik} * b_{kj} pour k de 1 à p ).
3. Propriétés :
   - Non-commutativité : AB ≠ BA en général.
   - Associativité : (AB)C = A(BC).
   - Distributivité : A(B + C) = AB + AC.

Exemple :
[[1, -2, 3], [2, -4, 1]] * [[1, 0, 1, 2], [-1, 2, 3, 1], [3, -2, 0, 3]]

### V. Puissance d’une matrice carrée
1. Définition : A^n = A * A * ... * A (n fois).
2. Convention : A^0 = I_n (matrice identité).
3. Cas particulier des matrices diagonales :
   [[a, 0], [0, b]]^n = [[a^n, 0], [0, b^n]].

### VI. Inverse d’une matrice carrée
1. Définition : Une matrice A est inversible s’il existe A^{-1} tel que A * A^{-1} = A^{-1} * A = I_n.
2. Formule pour une matrice 2×2 :
   A^{-1} = (1 / (ad - bc)) * [[d, -b], [-c, a]] si ad - bc ≠ 0.

Exemple :
Si A = [[2, 3], [3, 4]], alors A^{-1} = (1 / (2*4 - 3*3)) * [[4, -3], [-3, 2]].

### VII. Écriture matricielle d’un système linéaire
1. Un système linéaire :
   3x + 2y = 0
   5x + 4y = 1
   s’écrit en matrice :
   [[3, 2], [5, 4]] * [[x], [y]] = [[0], [1]].
2. Méthode de résolution : Si A est inversible, alors X = A^{-1} * B.

### VIII. Exercices et applications
1. Calcul de matrices, additions, multiplications.
2. Recherche de matrices inverses.
3. Résolution de systèmes avec matrices inversibles.
4. Problèmes concrets :
   - Ventes d’une entreprise : Trouver combien d’articles à 30€ et 60€ ont été vendus.
   - Triathlon : Trouver la distance des parcours de natation, vélo et course.
   - Prédictions avec graphes probabilistes :
     - Évolution des abonnements à un théâtre.
     - Répartition des niveaux dans un club de cyclotourisme.