limites.py

Created on January 21, 2025
3.37 KB
- Première image (Limites infinies des fonctions usuelles en +∞+∞ ou −∞−∞) :

# Limites en +∞
("lim(x→+∞) x = +∞")
("lim(x→+∞) x^2 = +∞")
("lim(x→+∞) x^3 = +∞")
("lim(x→+∞) x^n = +∞  (n entier ≥ 1)")

("lim(x→+∞) √x = +∞")
("lim(x→+∞) e^x = +∞")

# Limites en -∞
("lim(x→-∞) x = -∞")
("lim(x→-∞) x^2 = +∞")
("lim(x→-∞) x^3 = -∞")
("lim(x→-∞) x^n = +∞  si n est pair")
("lim(x→-∞) x^n = -∞  si n est impair")  
  
  

- Deuxième image (Limites infinies des fonctions usuelles
inverses en +∞+∞ ou −∞−∞) :
  
# Limites en +∞
("lim(x→+∞) 1/x = 0")
("lim(x→+∞) 1/x^2 = 0")
("lim(x→+∞) 1/x^3 = 0")
("lim(x→+∞) 1/x^n = 0  (n entier ≥ 1)")

# Limites en -∞
("lim(x→-∞) 1/x = 0")
("lim(x→-∞) 1/x^2 = 0")
("lim(x→-∞) 1/x^3 = 0")
("lim(x→-∞) 1/x^n = 0  (n entier ≥ 1)")

# Exponentielle négative
("lim(x→-∞) e^x = 0")


- Troisième image (Limites infinies des fonctions usuelles en 0) :
  
# Limites en 0+
("lim(x→0+) 1/√x = +∞")
("lim(x→0+) 1/x^2 = +∞")
("lim(x→0+) 1/x = +∞")

# Limites en 0-
("lim(x→0-) 1/x = -∞")


III. Opérations sur les limites

Limite d'une somme :
  
Si lim f(x) = l et lim g(x) = l', alors lim (f(x) + g(x)) = l + l'

limites_somme =
    "lim_f": "l", "lim_g": "l'", alors lim (f(x)+g(x)):"l + l'",
    "lim_f": "+∞", "lim_g": "+∞", alors lim (f(x)+g(x)): "+∞",
    "lim_f": "-∞", "lim_g": "-∞", alors lim (f(x)+g(x)): "-∞",
    "lim_f": "+∞", "lim_g": "-∞", alors lim (f(x)+g(x)): "F.I."


Limite d'un produit :
  
Si lim f(x) = l et lim g(x) = l', alors lim (f(x) * g(x)) = l * l'


    {"lim_f": "l > 0", "lim_g": "+∞", alors lim (f(x)*g(x)): "+∞"},
    {"lim_f": "l > 0", "lim_g": "-∞",  alors lim (f(x)*g(x)): "-∞"},
    {"lim_f": "l < 0", "lim_g": "+∞",  alors lim (f(x)*g(x)): "-∞"},
    {"lim_f": "l < 0", "lim_g": "-∞",  alors lim (f(x)*g(x)): "+∞"},
    {"lim_f": "+∞", "lim_g": "+∞",  alors lim (f(x)*g(x)): "+∞"},
    {"lim_f": "+∞", "lim_g": "-∞",  alors lim (f(x)*g(x)): "-∞"},
    {"lim_f": "-∞", "lim_g": "+∞", "resultat": "-∞"},
    {"lim_f": "-∞", "lim_g": "-∞", "resultat": "+∞"},
    {"lim_f": "0", "lim_g": "+∞ ou -∞", "resultat": "FI"},
    {"lim_f": "+∞ ou -∞", "lim_g": "0", "resultat": "FI"},
    
   
Limite d'un quotient (première partie, dénominateur non nul) :
  
Si lim f(x) = l et lim g(x) = l', alors lim (f(x) / g(x)) = l / l'

     "lim_f": "l", "lim_g": "l' ≠ 0", "resultat": "l / l'"},
    {"lim_f": "l", "lim_g": "+∞ ou -∞", "resultat": "0"},
    {"lim_f": "+∞", "lim_g": "l'>0", "resultat": "+infini"},
    {"lim_f": "+∞", "lim_g": "l'<0", "resultat": "-infini"},
    {"lim_f": "-∞", "lim_g": "l'>0", "resultat": "-infini"},
    {"lim_f": "-∞", "lim_g": "l'<0", "resultat": "+infini"},
    {"lim_f": "-infini ou +infini", "lim_g": "-infini ou +infini",
    "resultat": "F.I."},
    

Limite d'un quotient (deuxième partie, dénominateur nul) :
  
  
    "lim_f": "l > 0 ou +∞", "lim_g": "0 et g(x) > 0", "resultat": "+∞"},
    {"lim_f": "l > 0 ou +∞", "lim_g": "0 et g(x) < 0", "resultat": "-∞"},
    {"lim_f": "l < 0 ou -∞", "lim_g": "0 et g(x) > 0", "resultat": "-∞"},
    {"lim_f": "l < 0 ou -∞", "lim_g": "0 et g(x) < 0", "resultat": "+∞"},
    {"lim_f": "0", "lim_g": "0 ", "resultat": "F.I"}
  

On retrouve les quatre cas d'indetermination : 
  
  "+∞ - ∞" ; " ∞/∞ " ; "0 * ∞" et "0/0"


Propriétés pour tout entier naturel n ≥ 0
1. lim (x→+∞) (e^x / x^n) = +∞
2. lim (x→−∞) (x^n * e^x) = 0

Cas particuliers
1. lim (x→+∞) (e^x / x) = +∞
2. lim (x→−∞) (x * e^x) = 0