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f(x)=(x^2-3)exp(-x )

on pose f(x)=u(x)*v(x) 
avec u(x)=x^2-3 et v(x)=exp(x)
U et V sont 2 fonctions dérivables sur R 
donc f l’est aussi

Donc pour tout x appartenant à R

f'(x)=U'(x)*V(x)+U(x)*V'(x)
avec U'(x)=2x   et V'(x)=exp(x)

donc f'(x)=2x*exp(x)+(x2-3)*exp(x)
          f'(x)=2x*exp(x)+x2*exp(x )-3*exp(x)
          f'(x)= exp(x)(x2+2x-3)
Pour tout x appartenant à R, exp(x)>0 donc 
Le signe de f'(x) est celui de x2+2x-3

On pose a=1, b=2 et c=-3
Delta=b2-a*a*c
Delta=16
Delta >0

Donc le trinôme de x2+2x-3 admet 2 solutions
X1=1 et x2=-3

Comme a>0, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines 
et de signe de -a à l’intérieur

Donc si x appartient à ]-infini ; -3[ U]1 ;+ infini[  , x2+2x-3 >0
           si x appartient à ]-3 ;1[  , x2+2x-3 <0

Le signe de f' est celui de x2+2x-3

X              ! – infini         -3                1         +infini !
Signe f'(x)    !        +              0         -      0   +         !
variation f(x) !   croissante    decroissa . croissante               !

f(-3)=6exp(-3)
f(1)=-2exp(1)

Donc f est croissante sur ]-infini ; -3[ U]1 ;+ infini[  
Et f est décroissante sur ]-3 ;1[