exercice3.py

Created on November 21, 2023
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1.a) Aamcd = aire du carré de AMCD
     Aamcd = AM2 = x2
     
Ambef = aire du carré de MBEF     Ambef= MB2=(AB-AM)2

Ambef= (10-x)2

   b) f(x)=Aamcd + Ambef  ; f(x)=x2+(10-x)2
   
   f(x)=x2+(102-2×10× x+x2)  ; f(x)=x2+100-20x+x2
   
   donc f(x)=2x2-20x+100 
   
   
   c)  f(x) = 2(x2-10x)+100
   
   (x-5)2=x2-10x+25 donc x2-10x= (x-5)2-25
   
   donc  f(x)=2[(x-5)2-25]+100  ; f(x)=2 (x-5)2+50
   
   
    d)  On a donc f(x)= 2(x-5)2+50
    
  f(x) est de la forme a(x-Alpha)2 + Beta avec Alpha = 5 et Beta=50
  
  a= 2 , a>0 donc f est decroissante sur [0;Alpha] et croissante 
  sur [Alpha ; 10] 
   
    d'ou f est décroissante sur [0;5] et croissante sur [5;10]
    
    e) D'apres la variation de f, f(x) est minimale pour x=5

Donc la somme des aires des 2 carrés est minimale lorsque AM=5,

soit n est le milieu de [AB].
    
    
    
 2. g(x)= aire AMCD + aire disque de diametre [MB]      Le rayon du 
                                                        disque est MB/2
    g(x)=     x2    +         π (10-x/2)2               soit 10-x/2
    
    g(x)=     x2  +  π/4 (100 - 20x + x2)
    
    g(x)= (1+π/4)x2- 5πx + 35π
    
g(x) est un trinome de la forme ax2+bx+c avec:
  
  a= 1+π/4 , b = -5π, c= 25π 
  
  comme a>0, alors g est décroissante sur [0; -b/2a] et 
   sur [-b/2a ; 10 ]
   
  -b/2a = 5π/2(1+π/4) = 5π/4+π/2  = 10π/π+4
  
  le rayon du disque est MB/2 or MB=10-x
  
  MB=10 - 10π/4+π = 40+10π-10π/4+π  = 40/π+4   MB=40/π+4  × 1/2
  
  Donc MB/2 = 20/π+4
  
  Donc la somme des aires du carré et du disque est minimale
  lorsque le rayon du disque est egal à 20/π+4  .