Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(–3 ; 1 ; 4) et B(2 ; –2 ; 1) et la droite passant par C(–6 ;3 ; 8) et de vecteur directeur . Les droites (AB) et sont-elles sécantes ? Donner les coordonnées de l'éventuel point d’intersection. On détermine une représentation paramètrique de la droite (AB) elle passe par le point A(-3 ;1 ;4) et a pour vecteur directeur AB. AB= ( xB-xA ;yB-yA ;zB-zA) C’est-à-dire AB= ( 2-(-3) ;-2-1 ;1-4) Donc AB= ( 5 ;-3 ;-3) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc (AB)= ( x=-3+5t ; y=1-3t ; z=4-3t) avec t appartenant à R On détermine une représentation paramètrique de la droite (d) elle passe par le point C(-6 ;3 ;8) et a pour vecteur directeur u(-2 ;1 ;-1). Une représentation paramétrique de la droite (d) est donc (d)= ( x=-6-2t1 ; y=3+t1 ; z=8-t1) avec t1 appartenant à R Les droites (AB) et (d) sont sécantes si et seuleemnt si il existe un couple (t,t1) de reels solution du systéme : (S)= ( -3+5t =-6-2t1 1-3t =3+t1 4-3t =8-t1 ) D’après la première équation -3+5t =-6-2t1 3+5t=-2t1 t1=- (3+5t)/2 Puis avec la seconde equation on calcul t à l’aide de t1 1-3t =3+t1 1-3t=3 - (3+5t)/2 2-6t=6-3-5t -1=t t=-1 donc t1=- (3+5t)/2 t1=-(3-5)/2= 1 puis on vérifie dans la 3 éme equation 4-3t =8-t1 4-3*(-1)=7 8-1=7 Donc le couple (-1,1) est solution du système (S) donc les droites (AB) et (d) sont sécantes. Sot M le point d’intersection des droites (AB) et (d) M est le point de la droite (AB) de paramètre -1 et c’est aussi le point de la droite (d) de paramètre 1. On remplace dans la représentation paramétrique de la droite (d) : xM=-6-2*1=-8 yM=3+1=4 zM=8-1=7 M a pour coordonnées (-8 ;4 ;7)