chute_libre_rosetta.py

Created on December 16, 2024
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1.1.  Représenter la trajectoire de la comète autour du Soleil en précisant
les positions du Soleil, de l’aphélie et du périhélie. 

Selon la 1ère loi de Kepler (loi des orbites), dans le référentiel 
héliocentrique, la trajectoire de la comète est une ellipse dont le Soleil est 
un des foyers. 
Le périhélie est le point le plus proche du Soleil
L’aphélie est le point le plus éloigné,


1.2.  Expliquer, en utilisant une des lois de Kepler, pourquoi la vitesse de
la comète n’est pas constante sur sa trajectoire. On complètera le schéma 
précédent pour expliciter la loi utilisée. 

D’après la 2ème loi de Kepler (loi des aires), dans le référentiel 
héliocentrique, le segment qui relie le Soleil et la comète balaye des aires
égales durant des durées égales A1=A2.
La trajectoire est une ellipse donc la vitesse de la comète varie, elle est 
maximale à la périhélie et minimal à l’aphélie.
v_ périhélie =d_ périhélie /Delta_t 
v_ aphélie =d_ aphélie / Delta_t 
Durant une péridoe Delta_t, la distance d_ périhélie est supérieur à d_ aphélie
donc 
v_ périhélie est supérieur à v_ aphélie


1.3. Pour tous les objets en orbite autour du Soleil, le rapport entre le 
carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe a de l’orbite
est constant : , grandeur constante (troisième loi de Kepler). 2 3 T k a = 


La 3ème loi de Kepler appliquée à la Terre et à la comète donne :

T**2 / a**3 = constante

T_Terre**2 / a_Terre**3 = constante
T_comète **2 / a_comète **3 = constante

T_comète **2 = (T_Terre**2  * a_comète **3  ) / a_Terre**3

T_ comète  = racine( (T_Terre**2  * a_comète **3  ) / a_Terre**3))

Avec T_Terre = 1 an 
         a_Terre = 1 ua 
         2 * a_comète = (1.24 +5.68) ua
         a_comète = (1.24 +5.68)/2  ua = 4.08 ua 


T_ comète  = racine( (1**2  * ( 4.08 **3  ) / 1**3))=6.44 années



2.1. Faire un schéma de ROSETTA en orbite  et Donner l’expression vectorielle 
de cette force gravitationnelle en fonction de G, M, MC, h, R et u .

La force d’interaction gravitationnelle  exercée par la Comète sur la sonde 
Rosetta est :
F->_C/R =  (G * M_C * M) / ( r**2) u->     avec r=R+h
F->_C/R =  (G * M_C * M) / ( R+h **2) u->     


2.2.1. Donner l’expression vectorielle de l’intensité de la pesanteur g au
voisinage de la comète en fonction de G, MC, h, R et u .

P->= F->_C/R 
Avec P->=Mg et F->_C/R =  (G * M_C * M) / ( R + h )**2 u->
Donc 
Mg-> =  (G * M_C * M) / ( R + h )**2 u->
g-> =  (G * M_C ) / ( R + h )**2 u->

2.2.2. établir l’expression vectorielle de l’accélération de ROSETTA en 
fonction de G, MC, h, R et u .

Système : Rosetta 
Référentiel : comètocentrique qui est supposé galiléen. 
Selon la 2 éme loi de Newton, on a 
Somme (Forces_ext ->) = Ma ->
F->_C/R = Ma_R ->
(G * M_C * M) / ( R + h )** 2 u->  = Ma_R->  
a_R->= (G * M_C ) / ( R + h )** 2 u->  



2.3.1. Montrer que dans l’approximation d’un mouvement circulaire la valeur v 
de
la vitesse de ROSETTA a pour expression : C G.M,v R h =+ .

LE mouvement est circulaire uniforme
a_R = v** 2 / r   avec r =R + h
a_R= (G * M_C ) / ( R + h )** 2

donc   v** 2 / (R + h) = (G * M_C ) / ( R + h )** 2
v** 2 =( (G * M_C ) *  (R + h) ) / ( R + h )** 2
v** 2 = (G * M_C ) / ( R + h )
v = racine ((G * M_C ) / ( R + h ))

2.3.2. Calculer la valeur v de la vitesse.


v = racine ((G * M_C ) / ( R + h ))

avec G = 6.67*10 ** -11
M_C =  1*10 ** 13
R = 2 000
v = racine (( 6.67*10 ** -11 * 1*10 ** 13 ) / ( 2 000 + 20 000 ))
v = 0,17 m/s



2.3.3. Combien de temps ROSETTA met-elle pour faire un tour complet de la
comète ?

La vitesse est constante, 
v = d /Delta_t  = 2 pi * r / T 

v * T  = 2 pi * r

T  = 2 pi * r / v


T = 2 pi * (R+h)  / v
T = 2 pi * (20 000 + 2 000)  / 0,17

T = 790 000 secondes = 13 167 min = 219.4 heures = 9.14 jours


3.1.1. Déterminer, dans l’ordre de votre choix, la durée de la descente et la 
vitesse à l’atterrissage.

Système : PHILAE
Référentiel : comètocentrique, qui est supposé galiléen. 
Selon la 2 éme loi de Newton, on a 
Somme (Forces_ext ->) = ma->
 P ->= ma->
 mg-> = ma->  
a->= g-> 
En projetant sur l axe , on a :   a_y = – g = constante

On détermine d abord la vitesse v_y(t)
a_y = dv_y/dt
on obtient v_y(t) en calculant la primitive
v_y(t)=-gt+C1  avec C1 constante.
A t=0, v_y(0)=-g*0+C1 = 0
Donc C1 = 0
v_y(t)=-gt

Puis on détermine la position y(t)
v_y(t) = dy(t)/dt
on obtient y(t) en calculant la primitive
y(t)= - (1/2)*g*t**2 + C2 avec C2 constante
A t=0, y(0)= - (1/2)*g*0**2 + C2 = h   avec h= 20 km = 20 000  m
Donc C2 = h =39 045 m
y(t)= - (1/2)*g*t**2 + h

PHILAE touche le sol pour y(t_f) = 0
y(t_f)= - (1/2)*g*t_f**2 + h = 0
(1/2)*g*t_f**2  = h
g*t_f**2  = 2 * h
t_f**2  = 2 * h / g
t_f  =racine ( 2 * h / g)
t_f  =racine ( 2 * 20 000 / (1.5 x 10 **(-5))
t_f = 52 000 s environ  14 heures
la durée de la descente est d environ  14 heures
La vitesse est donc v (t_f)= g * t_f = 1.5 x 10 **(-5)) * 52 0000 = 0,77 m/s

3.1.2. Quelle serait, sur Terre, la hauteur de chute conduisant à cette même 
vitesse d’impact en prenant comme intensité de la pesanteur sur Terre 9,8 m.s-2?
Comment expliquer cette différence ?
v (t_f)= g * t_f = g * racine ( 2 * h / g) = racine ( 2 * h*g )
v (t_f) ** 2 = 2 * h*g 
h = v (t_f) ** 2 / ( 2*g)
h = 0,77 ** 2 / ( 2*9,8)
h = 0.031 m = 3.1 cm
La hauteur de chute est de 0,031 m sur Terre alors qu’elle était de 20 000 m 
cela s’explique par :
g_Terre / g_Comète =  9,8 / 1.5 x 10 **(-5) = 650 000
l’accélération de la pesanteur sur la Terre est environ 650 000 fois plus 
faible que celle de la comète 

3.1.3. En réalité, la durée de la chute est de 7 h. Dans le modèle utilisé, 
quelles sont les hypothèses que l’on peut discuter ? Justifier.

Si la durée de chute est de 7 h alors qu’on a trouvé 14 h à la question 3.1.1.
On peut dire que le modèle utilisé, n’est pas valide. 
Cela provient surement qu’on a négligé les forces de frottement et que le 
référentiel n’est pas galiléen.

3.2 Déterminer la valeur de la vitesse vR de la sonde ROSETTA par rapport à 
la comète après le largage.

Avant le largage on avait P_avant = M* V_(R+P)
Après le largage on a       P_après = (M-Mp)* V_(R)

Sachant que la quantité de mouvement du système se conserve selon 2 éme loi
de Newton

Donc  
P_avant = P_après
M* V_(R+P)  = (M-Mp)* V_(R)

V_(R)  = M* V_(R+P)  / (M-Mp)

V_(R)  = 3 000 * 0,17  / ( 3 000 - 120)

V_(R)  = 0,18 m/s