ABCD est un carré de côté 1 Les points E et F appartiennent respectivement à la demi droite [Ax) et au segment [DC] et vérifient AE = CF. I est le point d intersection des droites (AB) et (EF). on pose AE = x. 1 ) Donner l’intervalle de x. F est un point du segment [DC] ; DC=1 ; et F est différent de D, donc x=FC et x=/= 1 Donc x appartient à [0;1[ 2) Montrer que AI= (x-x**2)/(x+1) et calculer l’aire du triangle AEI On sait que : EFD est un triangle, A appartient à [ED], I appartient à [EF] (AI) est parallèle à (DF) Donc D’après le Theoreme de Thales : EA/ED = AI/DF=EI/EF avec EA=x , ED=x+1, DF=1-x x/(x+1) = AI/(1-x) donc AI = x(x-1)/(x+1) AI=(x-x**2)/(x+1) Aire du triangle AEI = base x hauteur /2 Aire du triangle AEI=AI*AE/2 Aire du triangle AEI= (((x-x**2)/(x+1)) * x) /2 Aire du triangle AEI=(x**2-x**3)/(2*(x+1)) 3. Pour x appartenant à [0,1[, on pose f(x)= (x**2-x**3)/(2*(x+1)) a) Calculer la dérivée de f(x) puis donner le signe de la dérivée de f(x) soit u(x)= x**2-x**3 une fonction dérivable sur [0,1[ et v(x) = 2(x+1) une fonction dérivable sur [0,1[ et v(x) ne s’annule pas sur [0,1[ f(x)=u(x)/v(x) est le quotient de u et de v donc f(x) est dérivable sur [0,1[ ( <’> = ça signifie prime, f prime(x)) f’(x)=(u’(x)v(x)-u(x)v’(x)) / (v(x))**2 f’(x)=((2x-3x**2)*2(x+1)-2(x**2-x**3))/(2(x+1))**2 f’(x)=(4x**2+4x-6x**3-6x**2-2x**2+2x**3)/(4(x+1)**2) f’(x)=(-4x**3-4x**2+4x)/((4(x+1)**2) f’(x)=(4x(-x**2-x+1))/(4(x+1)**2) f’(x)= (x(-x**2-x+1))/(x+1)**2 Pour tout x appartenant à [0,1[, (x+1)**2>0 et x>0 Donc le signe de f’(x) est celui de -x**2-x+1 On pose a=-1 , b=-1 et c=1 Delta= b2-4ac Delta=(-1)2-4*(-1)*1 Delta=5 Delta est positif donc -x**2-x+1 admet deux racines x1 et x2 X1=(-b-racine (delta))/(2a) X1=(1-racine(5))/(-2) X1=(-1+racine(5))/2 X2=(-b+racine (delta))/(2a) X2=(1+racine(5))/(-2) X2=(-1-racine(5))/2 a = -1 est négatif donc (-x**2-x+1) est du signe de a à l’extérieur des racines Tableau de signe x ! 0 x1 1 ! x ! + ! (x+1)**2 ! + ! -x**2-x+1! + 0 - ! f’(x) ! + 0 - ! b) Déduire les variations de f(x) x ! 0 x1 1 ! f’(x) ! + 0 - ! f(x) ! / \ ! c) Pour quelle valeur de x l’aire du triangle AIE est maximale : f(x)=Aire triangle AIE est maximale pour X1=(-1+racine(5))/2