logarithme.py

Created on December 11, 2022
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# Logarithme
# pr tt x£R et y£]0;+inf[ y=e**x <=> x=lny
# pr tt x£R ln(e**x)=x
# pr tt x£]0;+inf[ e**lnx=x

#propriété fondamentale:
#pr tt x et y ds ]0;+inf[, lnxy=lnx+lny
#Démonstration:
#on prend x>0 et y>0 on note A=lnxy 
#et B=lnx+lny
#on veut A=B 
#e**A=e**lnxy=xy
#e**B=e**lnx+e**lny=e**lnx*e**lny=xy
#Donc on a e**A=e**B et donc A=B 

#Conséquences
#pr tt x>0  ln 1/x=-lnx
#pr tt x>0 et y>0  ln x/y=lnx-lny
#pr tt x>0 lnx2=2lnx
#pr tt n>0 ln Vx=1/2lnx

#Démonstration 
#1: ln1/x+lnx=ln(1/x *x)=ln1=0 donc ln1/x=-lnx
#2: lnx/y=ln(x*1/x)=lnx+ln1/y=lnx-lny
#3: lnx2=lnxx=lnx+lnx=2lnx
#4: ln((Vx)2)=2lnVx Or lnx=2Vx donc lnVx=1/2lnx

#5: Soit x>0 (rédac récurrence) P(n):lnx**n=nlnx
#I°: lnx**0=ln1=0 et 0lnx=0
#Hrt: lnx**n=nlnx
#    lnx**n+lnx=nlnx+lnx
#   lnx**n *x=(n+1)lnx
#    lnx**(n+1)=(n+1)lnx
#6:soit x>0 et n£Z
#si n>=0 alors n£N et dc lnx**n=nlnx
#si n<0 lnx**n=ln(1/x**-n)
#             =ln(1/x)**-n or -n est + £N
#             =-n*ln1/x=-n(-lnx)=nlnx