suites_recurrences.py

Created on December 12, 2023
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Raisonnement par recurrence =
  
# Initialisation
 # Verifier que la proposition est vraie pour n = 0
 # Exemple = Proposition P(n) = u_n >= quelque_chose

# Heredite
 # Assumer que la proposition est vraie pour un k quelconque
 # Demontrer que cela implique que la proposition est vraie pour k + 1
 # Exemple = P(k) => P(k + 1)

# Conclusion
 # Conclure que la proposition est vraie pour tous les entiers a partir de 
 #l initialisation et de l'hérédité

Limite finie ou infinie d une suite =

# Convergence vers une limite finie
# lim(n -> inf) u_n = L

# Divergence vers l infini
# lim(n -> inf) u_n = +inf

Proprietes des limites =

# Addition et soustraction
# lim(n -> inf) (u_n + v_n) = lim(n -> inf) u_n + lim(n -> inf) v_n

# Multiplication
# lim(n -> inf) (u_n * v_n) = (lim(n -> inf) u_n) * (lim(n -> inf) v_n)

# Division (si lim(n -> inf) v_n != 0)
# lim(n -> inf) (u_n / v_n) = (lim(n -> inf) u_n) / (lim(n -> inf) v_n)

Limites et comparaison =

# Theoreme de comparaison
# Si 0 <= v_n <= u_n pour tout n a partir d un certain rang et 
#et lim(n -> inf) u_n = L
# alors lim(n -> inf) v_n existe et est egalement egal a L

Limite d une suite geometrique =

# Suite geometrique
# u_(n+1) = r * u_n

# Limite d une suite geometrique
# Si |r| < 1 alors lim(n -> inf) u_n = 0
# Si |r| > 1 la suite diverge

Convergence et monotonie =

# Monotonie croissante
# u_{n+1} >= u_n for all n

# Monotonie decroissante
# u_{n+1} <= u_n for all n

# Convergence pour une suite monotone bornee
# Si une suite est à la fois monotone et bornee alors elle converge