### calcul # 1+2+3+...+N = N(N+1)/2 # 1+ q^2 + q^3 + ... + q^n avec # q != 1 alors (1-q^(n+1))/(1-q) ########################### ### sens de variation # pour tout n>n0, Un<=Un+1 # -> croissante # pour tout n>n0, Un>Un+1 # -> strictement décroissante ########################### ### Monotonie # Monotone lorsque suite # croissante ou décroissante # # Etudier la monotonie d'une suite # - etudier signe de Un+1-Un # - comparer Un+1/Un à 1 # - etudier la variation de f avec f(n)=Un ######################## ### Arithétique # Un+1 = Un + r # terme général de 1er terme Uo # et raison r => Un = U0 + nr # Propriété : Un = Up + (n-p)r # calcul : # Sn = U0 + U1 + ... + Un # (n+1)(U0+Un) # Sn = ------------ # 2 # ##### ### Géometrique # Vn+1 = q * Vn # terme général de 1er terme Vo # et raison q => Vn = V0 * q^n # Propriété : Vn = Vp * q^(n-p) # Calcul : # Sn = V0 + V1 + ... + Vn # 1-q^(n+1) # Sn = V0 * ------------ # 1-q ######### ### arithmético-géométrique # Un+1 = a*Un + b # pour trouver Un en fonction de n # Vn = Un - l # # Vn+1 = Un+1 - l # = a*Un + b - l # = a(Vn + l) + b - l # = a*Vn + al + b -l # en choisissant l tels que # al + b - l = O -> l = b/1-a # on obtient Vn+1 = aVn # sinon on peut faire # EQ pour trouver l # => al + b = l # en notant f(x)=ax+b # f(l)=l # l point fixe de la fonction f ######################## ### Récurrence # Initialisation : # On démontre que (P) est vraie # au rang n0 # Hérédité : # si (P) est vraie au # rang p alors (P) est vraie # pour le rang p+1 # Conclusion : # la propriété (P) est initialisée # et héréditaire, donc vraie # pour tout n≥n0 ######################## ### minoré, majoré, borné # majorée : # Un <= M # minorée : # Un >= M # bornée : # m <= Un <= M ######################### ### convergente, divergente # convergente : # - limite finie # - ou croissante et majorée # - ou décroissante et minorée # divergente : # limite infinie ou pas de lim ######################### ### Négligeable, équivalente # Négligeable # suite (Un) négligeable # devant (Vn) s'il existe une # suite (En) de limite 0 telle # que Un = En*Vn à partir # d'un certain rang. # On utilise alors les # notations de Landau a # Un = o(Vn) (on lit un est # un "petit o" de Vn). # Si Vn != 0 a partir d'un # certain rang, la définition # précédente est équivalente # à Un = o(Vn) si et seulement # si lim Un/Vn = 0 # n->+oo # Exemple: 1/n^2 = o(1/n) # car 1/n^2 = 1/n * 1/n avec # En = 1/n # # ln n = o(n) # car lim ln(n) / n = 0 # n->+oo ######### # Equivalente # La suite (Un) est # équivalente à la suite # (Vn) s'il existe une suite # (αn) de limite 1 telle que # Un = αn Vn à partir d'un # certain rang. # On écrit alors Un ∼ Vn # En pratique, si Vn ≠ 0 à # partir d'un certain rang, # on a Un ∼ Vn si et # seulement si lim Un/Vn = 1 # n->+oo ######################### ### suite adjacentes # Deux suites réelles (Un) et # (Vn) sont dites adjacentes # si l’une est croissante, # l’autre décroissante et si # leur différence converge # vers 0. # Deux suites adjacentes sont # convergentes et convergent # vers la même limite. ######################## ### récurr linéaire d'ordre 2 # Un+2 = aUn+1 + bUn # -> x2 - ax - b = 0 # - équation caractéristique # admet deux solutions réelles # distinctes r1 et r2 # Un =λr1^n +μr2^n # - équation caractéristique # admet une solution double r0 # Un =(λ+μn)r^n.