identif_td1.py

Created on September 30, 2025
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/// Exo 1

Système :
  
y(k)=-ay(k-1)+bu(k-1)+e(k)

#E(k) : Epsilon(k)

E(k)=y(k)+ay(k-1)-bu(k-1)

#J(0) : J(Theta)

J(0)=1/N * sum(k=1; N; E^2(k))

J(0)=1/N * sum(y(k)
+ay(k-1)-bu(k-1))^2

avec :
  
y(k)-> x
ay(k-1)-> y
-bu(k-1)-> z

#Identites remarquables :
#(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2
#(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz

On developpe J(0) 
avec les id rem

Ca donne :
  
J(0)=1/N * sum(y(k)^2
+ ay(k-1)^2 
- bu(k-1)^2
+ 2*y(k)*ay(k-1)
+ 2*ay(k-1)*(-bu(k-1))
+ 2*y(k)*(-bu(k-1))

Ensuite deriv part :
#symbole : d rond

#tous les termes qui 
#ont du a on les divise
#par a

dJ(0)/a
dJ(0)/b

et on passe a droite
le terme qui n a
plus de a ou b
-> ca donne deux
egalites

Matrice de sortie :
Sum(k=1;N;...)

Pour dJ(0)/a
S11= sum terme en a
S12= sum terme en b
(S13)= sum egalite

Pour dJ(0)/b
S21= sum terme en b
S22= sum terme en a
(S23)= sum egalite

on doit donc avoir :
           ^
/S11 S12\ /a\   /S13\
|       |*|^| = |   |
\S21 S22/ \b/   \S23/

--------------

Resolution numerique :

/A B\    1  /D -B\
|   | = --- |    |
\C D/   det \-C A/

det = AD-BC
 ^
/a\    1  /D -B\ /E\
|^| = --- |    | | |
\b/   det \-C A/ \F/

^
a = 1/det * [DE-BF]
^
b = 1/det * [-CE+AF]

-------------------------
Methode MTM-1

//Vecteur parametre :
  
Theta^T = (a, b)

//Vecteur observation :
  
Phi^T = (-y(k-1), u(k-1))

//Matrice M
//Matrice M^T
//Matrice M^T*M
//Matrice M^T*Y  
//(M^T*M)^-1 * M^T * Y

//////////////////////////////

Exo 6:

methode ou on retire un param

Y(t)= a1.u^2(t)+a2.u(t)+a3

//Vecteur parametre :
  
Theta^T = (a1, a2) -> a3=1.05

//Vecteur observation :
  
Phi^T = (u^2(t), u(t))

//Matrice Y :

    /y(1)  -a3\#(1.05-1.05)
Y = |...   -a3|
    \y(N-1)-a3/#(55.6-1.05)
    
//Matrice M
//Matrice M^T
//Matrice M^T*M
//Matrice M^T*Y  
//(M^T*M)^-1 * M^T * Y